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绝对值中的四类最值模型
最值问题一直都是初中数学中的最难点,但也是高分的必须突破点,而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题,该类最值模型解题的主要依据是绝对值的几何意义或代数意义。本专题就绝对值中的四种最值模型进行梳理及对应试题分析,方便大家掌握。
绝对值的性质:①正数的绝对值是它本身,即; ②0的绝对值是0,即;③负数的绝对值是它的相反数,即;④绝对值具有非负性,即。
模型1.的最小值模型
【模型解读】式子在时,取得最小值为。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x,使x到a和b的距离和的最小值:
分类情况(的取值范围)
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值,即为
当
无法确定
另解:也可用绝对值的代数意义(即分类讨论思想)完成绝对值的最值问题。
例1.(2022秋·山东临沂·七年级统考期中)数轴上表示数的点与原点的距离可记作;表示数的点与表示数的点的距离可记作.也就是说,在数轴上,如果A点表示的数记为点表示的数记为b.则两点间的距离就可记作.
回答下列问题:(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是____,数轴上表示和3的两点之间的距离是____;
(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5,那么x为_________;
(3)①找出所有使得的整数x;②求的最小值.
例2.(2022·江苏·七年级期中)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为,所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离.(ⅰ)发现问题:代数式的最小值是多少?
(ⅱ)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数-1、2、x,AB=3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和,
∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料,探究解决下列问题:
(1)的最小值是______;(2)利用上述思想方法解不等式:;
(3)当a为何值时,代数式的最小值是2
变式1.(2022·浙江·七年级专题练习)阅读下面的材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为∣AB∣,当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,∣AB∣=∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣;当A、B两点都不在原点时:
①如图2,点A、B都在原点的右边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣;
②如图3,点A、B都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣;
③如图4,点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣,
综上,数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣.
回答下列问题:(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________;
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________,如果∣AB∣=2, 那么x为__________.
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时,相应的x的取值范围是__________.
变式2.(2022?思明区校级期末)同学们都知道|5﹣(﹣2)|表示5与(﹣2)之差的绝对值,也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离,试探索:(1)求|5﹣(﹣2)|= .(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x﹣2|=7成立的整数是 .(3)由以上探索猜想,对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值?如果有,写出最小值;如果没有,说明理由.
模型2.的最小值和最大值模型
【模型解读】式子在时,取得最小值为;在时,取得最大值。
【最值原理】目的是在数轴上找一点x,使x到a和b的距离差的最大值和最小值:
分类情况(的取值范围)
图示
取值情况
当时
的值为定值,即为—
当时
当
的值为定值,即为
例1.(2022·浙江·温州七年级月考)代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a,最小值为b,下列说法正确的是( )
A.a=3,b=0 B.a=0,b=﹣3 C.a=3,b=﹣3 D.a=3,b 不存在
例2.(2022·重庆·七年级期末)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作.数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作,如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离,表示数轴上表示数3的点与表示数-5的点的距离,表示数轴上表示数a的点与表示数
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