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考虑材料用量约束的集中力扩散结构优化设计 约束集中力扩散效果拓扑优化设计方法 结构优化是结构优化中最困难的一种，但优化结果也是最大的研究方向。30年来，它一直在蓬勃发展。通过寻求最优的结构配置形式，我们获得了结构的最佳传输路径。随着对结构优化的研究，人们还发现，在满足于压力、位移和其他约束条件下，结构特定的能量消耗目标达到了最佳结构匹配。在结构设计过程中，尤其是在结构设计的概念设计阶段，结构优化的质量越来越受工程师的重视，并在行业中得到了成功的应用。 复杂结构往往是由多个部段装配而成,这使外载荷在结构内部传递过程中往往出现集中载荷作用于连接件区域的情形.航空航天器主体结构多是薄壳结构,为满足结构的强度和可靠性要求,连接区域必须布置特定的结构件用以分散所需传递的集中载荷.以运载火箭为例,位于尾段之前的燃料贮箱后过渡段,与发动机架的上端面相连接,其主要作用是将下方传来发动机推力扩散成均布力传送到燃料贮箱上,集中力扩散效果直接影响燃料贮箱的强度失效行为和可靠性;再如,连接级间段与贮箱的短壳,其传统设计中大量使用的放射肋结构目的就是有效扩散单侧集中力,但这种放射肋的设计效果并不理想,为了避免失效往往采取过于保守的设计,导致主体结构不必要的增重.为此,围绕典型连接构件开展针对集中力扩散效果的拓扑优化设计对航空航天、尤其是箭体结构设计非常迫切. 文献对Michell桁架的研究,讨论了集中力传递到离散或连续支座上的杆系结构最优拓扑设计,要求结构重量最轻且满足应力约束文献指出,集中力和支座相对位置以及集中力所作用的方向决定了最优的Michell桁架布局(见图1),当集中力垂直于支承边界时,最优的Michell桁架是一根垂直于支承边界的直杆. 本文研究的问题中,集中力与支撑边界垂直,但工程实际的要求是将该集中力通过优化的传力路径,尽可能均匀地分布到和集中力作用线垂直的弹性承载边界.由Michell桁架理论给出的垂直于边界的一根直杆,在支承上产生应力集中,不合乎集中力扩散的要求。本文基于连续体拓扑优化,以结构最小柔顺性为目标函数,同时考虑设计域内材料用量约束和考查区域(承载结构)指定断面上内力均匀性约束,提出了该优化设计问题的理论模型. 本文分4个部分:第1部分详细描述研究问题的背景,进而给出了该问题的拓扑优化模型及数值求解必需的灵敏度推导;第2部分通过平面问题和三维实体两个数值算例求解,验证本文算法的可行性和有效性;第3部分给出此算法的一个工程应用实例,即针对运载火箭燃料贮箱短壳进行拓扑优化设计,给出具有工程意义的概念性设计方案;文中最后总结了现有工作并对下一步工作进行展望. 1 拓扑优化模型的建立 考虑到集中力扩散结构兼具承载和均匀分散集中载荷的功能要求,本文在传统的结构最小柔顺性设计优化模型的基础上,增加了考虑集中力扩散效果的约束条件,进而建立集中力扩散结构设计的拓扑优化模型. 1.1 基于应力的单元应力 图2 (a)表示受到集中力作用的某复杂结构系统Ω.需要说明的是,理论上集中力应该作用于一点,但实际中任何载荷都有作用面积,本文中的集中力指作用面积和整个结构表面积相比很小的力.γ表示结构系统的几何边界条件.为简单起见,Ω仅包含两部分,即直接承受集中力的连接件结构Ω1和承载结构Ω2,见图2(b).集中力扩散设计问题可以描述为,仅将Ω1作为设计区域,通过优化设计给定材料在Ω1域内的分布,使得p传递到Ω2上的分布力尽量均匀,且保证设计后整个结构系统Ω具有足够大的刚度. 应力约束下的连续体拓扑优化文献中已经有很多研究,文献的研究指出存在以下困难:(1)由于在结构的每一点上都有应力约束,优化问题约束数目非常多,敏度计算量非常大,形成的数学规划规模也很大,迭代求解困难;(2)存在奇异最优解,普通的KKT条件不再适用;(3)中间密度单元的应力以及相应的屈服强度极限难以确定.近年来国内外的研究仍然很多,Le等对单元应力进行惩罚来定义应力,以此放松了的应力为约束引入SIMP模型进行优化求解来避免奇异性,但无法回避中间密度单元的问题;Guo等借助水平集方法对应力约束下的拓扑优化问题进行求解,来克服中间密度单元对最优解的影响.为了避免应力约束带来的困难,本文选取指定截面的内力f的均匀程度来评价集中力扩散的效果,同时考虑了结构刚度和重量. 对于图2所示的结构系统,用统一的有限元网格划分,要求连接件结构Ω1和支撑结构Ω2的界面S和其两侧的有限元的单元边界一致.整个结构刚度矩阵由两部分结构的刚度矩阵迭加得到,可表示为 由于两侧结构的节点数和整个结构的节点数都不等,在上式中,K1和K2分别是两侧刚度阵经过适当补充零行和零列扩充,和结构刚度阵K具有同样维数.整个结构的分析满足 其中u由两侧结构和界面节点的位移向量组成.记u1为上部结构Ω1内部节点,u2为支撑结构Ω2内