2.3.4二次函数在闭区间上的最值课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

二次函数在闭区间上的最值 复习回顾 初中阶段我们学了二次函数的哪些知识？1、二次函数的概念；2、二次函数的解析式有三种形式： 3、二次函数的图像画法、性质特征；一般式：顶点式：两点式：顶点坐标： xyyx 1. 轴定区间定正向型 。开口向下，显然其对称轴在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为 ，顶点坐标为（2，2），且其图象最小值为，解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是图1练1：求函数在区间[0，3]上的最值？ 在区间上的最小值？函数在区间 上的最大值？ 函数练2：求二次函数 的最小值。 2、轴定区间变例2. 如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。分析：该二次函数是固定的，但定义域区间随参数t的变化而变化，此种情况我们称之为“定二次函数在动区间上的最值”。 解决此类问题关键在于变换区间位置，对在不同位置上的图像对称轴与区间位置关系进行讨论。 xy11tt+1tt+1tt+1当函数取得最小值时，函数取得最小值当时，当函数取得最小值时，在区间上的最小值？函数2、轴定区间变 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。若对称轴在区间上时，有，即当时，函数取得最小值。 。综上所述，若对称轴在区间右侧时，有，即当时，函数取得最小值。左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。若对称轴在区间 3、轴变区间定例3. 求函数 在 上的最大值。分析：该二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 解决此问题的方式是移动对称轴，对不同位置的对称轴和定义域区间位置关系进行讨论。 xy-11当时函数取得最大值当时函数取得最大值当时函数取得最大值 解： 函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，（1）时（2）时（3） 时；即 逆向型例4. 已知函数 在区间 上的最大值为4，求实数a的值。分析：此题属于已知二次函数最值，求函数或区间中参数取值的问题，我们称之为逆向型问题，此类问题该如何思考呢？ 解：配方可得（1）若不符合题意。（3）若时，则由，得综上知或则由，得（2）若 再见 例5. 已知二次函数 在区间 上的最大值为3，求实数a 分析：此题与上题类似，都属于逆向型问题，但两题区 别在于上题对称轴是定值 ，该题对称轴 若仍像上题般讨论参数的正负，则需分析对称轴与区 间的位置关系，需分五种情况讨论，过程复杂，但如 果我们注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的 顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其 真假，过程就简明多了。 （1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，而，故不合题意； 解：（2）令，得此时抛物线开口向上，对称轴方程为 ，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为在区间内，故综上，不符合题意；，对称轴 小结： 设，求在上的最大值与最小值。 xymn xymn xymn 练习1、已知，求函数的最值。，当时，求的最大值．，且，求函数的最值。在区间[-1,2]上的最大值。在区间上的最小值是3最大值是3，求、2、 已知3、已知4、求5、已知函数的值。