椭圆典型题型归纳总结材料.docx

实用文档 实用文档 题型一. 定义及其应用 椭圆典型题型归纳 例 1：已知一个动圆与圆C : (x ? 4)2 ? y2 ? 100 相切，且过点 A(4,0) ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； (x (x ? 3)2 ? y2 方程 ?  (x ? 3)2 (x ? 3)2 ? y2 直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 (x ? 3)2 ? y2 (x ? 3)2 ? y2 (x ? 3)2 ? y2 x2 ? ( y x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 方程 ? 10 成立的充要条件是（ ） x2 ? y2 ? 1 B. x2 ? y2 ? 1 C. x2 ? y2 ? 1 D. x2 ? y2 ? 1 25 16 25 9 16 25 9 25 如果方程 过椭圆9x2 ? 4 y2 ? x2 ? ( y x2 ? ( y ? m)2 x2 ? ( y ? m)2 1 ? m ? 1表示椭圆，则m 的取值围是 的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则 A, B 两点与椭圆的另一个焦点F 2 构成的?ABF 2 的周长等于 ； 6.设圆(x ?1)2 ? y2 ? 25 的圆心为C ， A(1,0) 是圆一定点， Q 为圆周上任意一点，线段 AQ 的垂直平分 线与CQ 的连线交于点M ，则点 M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 ?x2 y2 ? 例 1.方程 ? 1的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 16 25 （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点 P(3,0) ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P ( 6,1)、P (? 3, ? 2) ，求椭圆的方程； 1 2 例 4.求经过点(2, ?3) 且与椭圆9x2 ? 4 y2 ? 36 有共同焦点的椭圆方程； （四）定义法求轨迹方程； 例 5.在?ABC 中， A, B, C 所对的三边分别为a, b, c ，且 B(?1,0), C(1,0) ，求满足b ? a ? c 且b, a, c 成等 差数列时顶点 A 的轨迹； 练习： 1、动圆P 与圆C 1 : (x ? 4)2 ? y2 ? 81 切与圆C 2 : (x ? 4)2 ? y2 ? 1 外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。 2、已知动圆C 过点A (?2,0) ，且与圆C 2 : (x ? 2)2 ? y2 ? 64 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ； （五）相关点法求轨迹方程； 例 6.已知 x 轴上一定点 A(1,0)， Q 为椭圆 x ? y2 ? 1上任一点，求 AQ 的中点 M 的轨迹方程； 24 2 实用文档 实用文档 （六）直接法求轨迹方程； 例 7.设动直线l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x2 ? 2 y2 点，求点 P 的轨迹方程；  ? 4 交于 A, B 两点，点 P 是直线l 上满足 PA ? PB ? 1的 （七）列方程组求方程 例 8.中心在原点，一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的横坐标为 1 2 的方程；  ，求此椭圆 题型三.焦点三角形问题 椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P(x , y ) 和焦点 F (?c,0) ， F (c,0) 为顶点的?PF F 中， ?F PF ? ? ，则 a2 b2 0 0 1 2 当 P 为短轴端点时? 最大，且 1 2 1 2 ① PF 1 PF 2 ? 2a ； ② 4c2 ? PF 12 1 2 2 ? PF 2 2 ? 2 PF PF 1 2 cos? ； ③ S ? ?PF1F2 PF PF 1 2 sin? = b2? tan ? 。（ b 短轴长） 2 例：知椭圆 x2 y2 5 ? 1 上一点 P 的纵坐标为 ，椭圆的上下两个焦点分别为 F 、 F ，求 PF 、 PF 及 16 25 3 2 1 1 2 cos ?F PF ； 1 2 练习： ? ? 1 ? ? 1 1、椭圆 9 2  的焦点为 F 、 F ，点 P 1 2  在椭圆上，若 PF ? 4 1  ，则 PF ? ； 2 ?F PF 的大小为 ； 1 2 2、 P 是椭圆 x2 ? y2 ? 1 上的一点， F 和 F 为左右焦点，若?F PF ? 60 。 25 9 1 2 1 2 （1）求?F PF 的面积；（2）求