人教版高中数学必修四 弧度制.docx

1.1.2 弧度制 一、重点难点解读 知识点一 弧度制的概念 1 角度制：将圆周的360作为 1 度的角，记作 1°，这种用度作单位来度量角的单位制叫角度 制． 弧度制：将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 弧度的角，记作 1 rad.这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制． 知识点二 角度与弧度的换算 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．如果半径为 r l 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧度数的绝对值|α|＝_r ． 设一个角的弧度数为α，角度为n°，则 α＝?180α?°，n°＝ n π. ? π ??180 角度与弧度的互化． 一些特殊角与弧度数的对应关系． 3．角度制与弧度制的比较 角度制 角度 制 用度作为单位来度 量角的单位制 角的大小与 半径无关 单位“°”不能省 略 角的正负与 方向有关 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad” 可以省略 角的正负与方向有关 1 知识点三 用弧度制表示弧长及扇形面积公式 α α α 为度数 α 为弧度数 扇形的弧长 l＝απR 180° l＝αR 扇形的面积 S＝ 360° απR2 S＝ lR 1 2 ＝ α 1 R 2 2 二、常考题型归类 题型一 弧度制概念及应用 例 1 下列四个命题中，不正确的一个是( ) A．半圆所对的圆心角是 πrad B．周角的大小是 2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 【答案】 D 例 2 下列各种说法中，错误的是( ) “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1°的角是周角的 1 ，1 rad 的角是周角的 1 360 2π 根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角 利用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径长短有关 [自主解答] A，B，C 正确，D 中角的大小只与弧长与半径的比值有关，与圆半径无关． 答案：D 例 3 将下列角转化为另一种形式表示： (1)－300°； 8 π.(2)5 π. π 5 【解析】 (1)－300°＝－300×180＝－3π； 8 8 5(2)5π＝ ×180°＝288°. 5 例 4 将下列各角化成 0 到 2π 的角加上 2kπ(k∈Z)的形式， 并指出它们所在的象限． 19 15π 32π (1) 3 π；(2)－315°；(3)－ 4 ；(4) 3 . 19 π 3【解析】 (1) 3 π＝ ＋6π，是第一象限角． 3 (2)－315°＝45°－360° π 2π，是第一象限角． (3)  15π π ＝4－ — 4 ＝－4π＋4，是第一象限角． 32π 2π (4) 3 ＝10π＋ 3 ，是第二象限角． 2 例 5 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图所示)． 【思路分析】 首先可以利用弧度制与角度制间的关系将有关角化为弧度数，同时在表示所给角的范围时还要注意正角和负角之间的转化． π 【解析】 (1)如题图①中以OB 为终边的角 330°，可看成为－30°，化为弧度，即－6， π 5π 而 75°＝75×180＝12. π 5π 12∴{θ|2kπ－6<θ<2kπ＋ ，k∈Z}． 12 3 (2)如题图②中以 OB 为终边的角 225°，可看成是－135°，化为弧度，即－4π，而 135° π 3π ＝135×180＝ 4 ， 3π 3π ∴{θ|2kπ－ 4 <θ<2kπ＋ 4 ，k∈Z}． (3)如题图③，∵30° π 210° 7π ＝6， ＝ 6 ， π π 7π 3π π π 2 6 2 6 2∴{θ|2kπ＋6<θ<2kπ＋ ，k∈Z}∪{θ|2kπ＋ <θ<2kπ＋ ，k∈Z}＝{θ|2kπ＋ <θ<2kπ＋ 2 6 2 6 2 π π π π 2 6 2k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π＋6<θ<(2k＋1)π＋ ，k∈Z}＝{θ|kπ＋ <θ<kπ＋ ，k∈Z} 2 6 2 变式题 1 下列命题中，假命题是( ) “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1°的角是周角的 1 ，1 rad 的角是周角的 1 360 2π C．1 rad 的角比 1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】 D 变式题 2 下列说法正确的是( ) A．1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B．1 弧度是长度为半径的弧 C．1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D．1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析：根据 1 弧