人教版高中数学必修四 任意角.docx

PAGE PAGE 1 1.1.1 任意角 一、重点难点解读 知识点一 任意角的概念 要点 1 角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 要点 2 角的分类 正角：按逆时针方向旋转形成的角； (2)负角：按顺时针方向旋转形成的角； (3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角． 知识点二 终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和． 温馨提示 终边相同的角的通式表达形式不唯一，我们可利用图形来验证它们的等效性，如 α＝k·180°＋90°与 β＝k·180°－90°都表示终边在 y 轴上的所有角． 知识点三 象限角、轴线角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角． 二、常考题型归类 题型一 任意角的概念 例 1 (1)已知集合 A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于 90°的角}，则下面关系正确的是( ) A．A＝B＝C B．A?C C．A?C＝B D．B∪C?C 在下列说法中： ①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角； ③射线 OA 绕端点 O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于 90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为 ． 解析：(1)第一象限角可表示为 k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为 0°<β<90°， 小于 90°的角可表示为 γ<90°，由三者之间的关系可知 B∪C C. (2)①时针经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确． ②钝角 α 的取值范围为 90°<α<180°，锐角 θ 的取值范围为 0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确． ③射线 OA 按逆时针旋转一周所成的角是 360°，所以③不正确． ④锐角 θ 的取值范围是 0°<θ<90°，小于 90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 答案：(1)D (2)①③④ 例 2 一角为 30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？按顺时针方向旋转三周后又是多少？ 【解析】 终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为 360°×3＝1 080°.再加这一角原本是 30°，所以按逆时针旋转后的角度数是 1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是： －3×360°＋30°＝－1 050°. 变式题 1 钟表经过 30 分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？ 解：钟表经过 30 分钟，时针按顺时针方向转了 30× 360° ＝15°，表示－15°； 分针也按顺时针方向转了  360° 12×60 180°，表示－180°. 30× 60 ＝ 题型二 终边相同的角 例 1 已知 α＝－1 190°. (1)把 α 写成 β＋k·360°(k∈Z，0°≤β≤360°)的形式； (2)求 θ，使 θ 与 α 的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解：(1)因为－1 190°÷360°＝－6 余 250°， 所以－1 190°＝－6×360°＋250°. (2)令 θ＝250°＋k·360°(k∈Z)， 因为－720°≤θ＜0°， 所以－720°≤250°＋k·360°＜0°， 97 25 36即－36≤k＜－ ， 36 因为 k∈Z，所以 k＝－1 或－2. 即 250°＋(－1)·360°＝－110°， 250°＋(－2)·360°＝－470°. 例 2（1）求终边落在直线 y＝－x 上的角的集合． (2)终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？ 【解析】 （1）终边落在直线 y＝－x 上的角分为两种情况： ①若终边落在第二象限的角平分线上时，{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②若终边落在第四象限的角平分线上时，{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得终边落在 y＝－x 上的角的集合为{φ|φ＝135°＋k·180°，k∈Z}． （2）答案 {β|β＝45°＋n×180°，n∈Z} 例 3 求下列轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合： 终边落在 x 轴的正半轴上： 终边落在 x 轴的负半轴上： 终边落在 x 轴上： (2) 终边落在 y 轴的正半轴上：