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第二节中心极限定理演示文稿 当前第1页\共有24页\编于星期六\16点 优选第二节中心极限定理 当前第2页\共有24页\编于星期六\16点 (2). 对“由大量微小的独立的随机因素”（不要求同分 布）引起并累积成的变量，当随机因素个数趋于 无穷时以正态分布为极限。这就是李雅普诺夫中 心极限定理。 比如：一台机床已经调试良好，操作正常。但由 于机床的微小震动、工具的微小变形、原材料质 量上的微小差异、工作操作上的微小偏差等等数 不清的随机因素，它们每一个因素在总的影响中 所起的作用都是微小的。而综合起来在产品质量 上就形成一定的误差，这误差近似服从正态分布。 当前第3页\共有24页\编于星期六\16点 在一定条件下，大量的随机变量之和的概率分布以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。故： 研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。当 n 无限增大时，这个和的极限分布是什么？在什 么条件下极限分布会是正态的呢？ 研究的问题： 当前第4页\共有24页\编于星期六\16点 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生 的总影响： 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着 许多随机因素的影响： 中心极限定理的客观背景 如，瞄准时的误差，空气阻力所产生的误 差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 而所要研究的是：这些随机因素的总影响。 当前第5页\共有24页\编于星期六\16点 一. 独立同分布中心极限定理 定理1. 设随机变量 相互独立且服从同 一分布，其数学期望与方差: （林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理） 则随机变量之和 的标准化变量： 当前第6页\共有24页\编于星期六\16点 的分布函数 对于任意 满足: 证： (略) 它要用到特征函数和傅利叶变换等等。 注: ▲ 定理1 表明，当 n 充分大时，n 个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。 虽然在一般情况下，很难求出 X1+ X2 + …+ Xn 的分布的确切形式，但当 n 很大时，可以求 出其近似分布。 当前第7页\共有24页\编于星期六\16点 定理1 表达了正态分布在概率论中的特殊地位: 尽管 分布是任意的，但只要 n 充分大后，其样本平均值 的分布却是近似服从正态分布的： ▲ 或 这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础 当前第8页\共有24页\编于星期六\16点 二. 李雅普诺夫定理 定理2. 设随机变量 相互独立，它们 具有数学期望和方差为： ( Liapunov 中心极限定理) 记 若存在正数 使得当 当前第9页\共有24页\编于星期六\16点 则随机变量之和 的标准化变量： 的分布函数 对于任意 满足: 证明：（略） 当前第10页\共有24页\编于星期六\16点 注: ▲ 定理2表明， 当 n 充分大时，随机变量： 近似服从标准正态分布。 即， 近似服从正态分布 ▲ 由此， 定理2再次表达了正态分布在概率论中的 特殊地位： 无论各个随机变量 服从什么分 布，只要满足定理2的条件，那么它们的和当 n 充分大时就近似服从正态分布。 当前第11页\共有24页\编于星期六\16点 三. 棣莫弗---拉普拉斯定理 定理3. （De Moivere—laplace 中心极限定理） 设随机变量 相互独立，且服从参数为 的二项分布，则对任意 恒有: 证明: 服从参数为 的二项分布 若随机变量 相互独立，且服从 同一(0—1)分布， 则 见教材P125例6 的结论 当前第12页\共有24页\编于星期六\16点 由此 是 n 个相互独立，服从同一 (0--1) 分布的 之和。即： 其中 的分布律为： 由定理1得： 当前第13页\共有24页\编于星期六\16点 注: 定理3表明，正态分布是二项分布的极限分布， 当 n 充分大时可以用正