2015届高考数学总复习第8章立体几何初步第6课时空.doc

2015届高考数学总复习第8章立体几何初步第6课时空. 2015届高考数学总复习第8章立体几何初步第6课时空. PAGE/NUMPAGES 2015届高考数学总复习第8章立体几何初步第6课时空. 第八章立体几何初步第6课时空间向量在立体几何中的应用 (理科专用) 设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________． 答案：4 分析：α∥β (－2，－4，k)＝λ(1，2，－2)，∴λ＝－2，k＝4. 2.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的 角为________． 答案：30° 1 分析：设l 与α所成角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝2.又0°≤θ≤90°，∴θ＝ 30°. 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线 A1C与EF所成角 的余弦值为________． 2 答案： 3 分析：成立空间直角坐标系，求出异面直线 2 A1C与EF所成角的余弦值为. 3 已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为________． 2 答案：－19 分析：因为 ，所以x＝ 4 ＝ 1 ，解得x＝2，y＝－4，这时＝(2，4，1)，＝(－2， a∥b －2 y －1 a b －4，－1)．因为 ，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是 c ＝(3，－2，2)．所 b⊥c 5－12＋3 以 a ＋ ＝(5，2，3)，＋ c ＝(1，－6，1)，设( a ＋ c )与( ＋)所成角为θ，所以cosθ＝ c b bc 38·38 2 ＝－19. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为________． 10 答案： 5 分析：如图成立空间直角坐标系，则 B(4，0，0)，C(4，4，0)，C(4，4，2)，明显AC⊥ 1 1 1 → ＝(4，4，0)为平面 1 1 →1 →1 ， 平面BBDD，∴AC BBDD的一个法向量．又BC＝(0，4，2)，∴cos〈BC → → 1→ 16 10 10 AC〉＝ → → ＝ 16＋4·16＋16 ＝ 5 .即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 5. |BC 1||AC| →→ 6.已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.若向 量ka＋b与ka－2b相互垂直，则k＝________． -1- 5 答案：－2或2 分析：a＝(－1＋2,1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)．ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k，2)·(k＋2,k，－4)＝(k－1)(k＋ 2 2 5 2)＋k－8＝0，即2k ＋k－10＝0，∴k＝－2或k＝2. 7.在正四棱锥SABCD中，O为极点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 答案：30° 分析：如图，以O为原点成立空间直角坐标系Oxyz. aa 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P0，－2，2， → → a a → ，设平面PAC的法向量为n，可求得 则CA＝(2a，0，0) ，AP＝－a，－2，2 ，CB＝(a ，a，0) → → a 1 → 〉＝ CB·n 〉＝60°，∴直 ＝(0，1，1)，则cos〈CB， ＝ ＝，∴〈CB， n n | → 2a2·22 n CB|·|n| 线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点 O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1 上任一点，则异面直线 OP与AM所成的角的大小为________． 答案：π 2 →→→ 1 分析：以D为原点，DA、DC、DD所在直线为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系， → 1 11 → 1 不如设|AB|＝1，则A(1，0，0)，M0，0，2 ，O2，2，0 ，P(1，y，1)，则AM＝－1，0，2 ， → 11 →→ OP＝ 2，y－2，1 ，∴OP·AM＝0，∴OP⊥AM. (2014·南京期初调研)在底面边长为2，高为1的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点． 求异面直线A1E、CF所成的角； 求平面A1EF与平面AD