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第五节 对坐标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 一、有向曲面及曲面元素的投影 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 双侧曲面 单侧曲面 乌斯带 曲面分左 曲面分上 曲面分内 侧和右侧 侧和下侧 侧和外侧 (单侧曲面的典型) 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向表示 : 方向余弦 cosa cosb cosg 封闭曲面 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 侧的规定 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧 设 S为有向曲面, 其面元 DS 在xoy 面上的投影记为 取上侧 (DS )x y , 的面积为 则规定 取下侧 (Ds )x y , 当cos g> 0时 (DS )x y = -(Ds )x y , 当cos g< 0时 类似可规定 0 , 当cos g”0时 (DS )yz , (DS )zx ［说明］曲面S向xoy面投影则将 S看作上、下两侧 类似地可定义DS在yoz 面及xoz面上的投影 (Ds)yz 当cos a >0 时 取前侧  (DS ) = -(Ds) 当cos a <0 时. yz  yz 取后侧   0 当cos a =0 时 (Ds)zx 当cosb >0 时 取右侧  (DS ) = -(Ds) 当cosb <0 时. 取左侧 zx  zx  0 当cosb =0 时  ［规律］上侧、前侧、右侧投影到相应坐标面上时，符 号取正；反之则取负. 二、概念及性质 1. 【定义】 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有 DS DS 界,把Σ分成n块小曲面 ( 同时又表示第 i i i 块小曲面的面积),DSi 在xoy 面上的投影为 (DS ) (x ,h ,z ) DS , 是 上任意取定的一点,如果 i x