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数学思想与数学文化第二讲数学概观 第一页，共二十五页，2022年，8月28日 内容 一. 前言 二. 数学科学的内容 三. 数学进展的大致概况 四. 数学学科的特点 五. 数学家的思维 六. 数学家介绍（华罗庚、陈省身） 第二页，共二十五页，2022年，8月28日 一. 前言 被后人称为“数学王子”的德国大数学家高斯（Gauss, 1777-1855）曾说过：“数学是科学之王，数论是数学之王，它常常屈尊去为天文学和其他自然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一．” 随着科学技术的迅猛发展，数学的地位也日益提高，这是因为当今科学技术发展的一个重要特点是高度的、全面的定量化．定量化实际上就是数学化．因此，人们把数学看成是与自然科学、社会科学并列的一门科学，叫数学科学． 第三页，共二十五页，2022年，8月28日 二.数学科学的内容 ☆数学科学按其内容可分成五个大学科： 1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics） 2）应用数学（Applied mathematics） 3）计算数学（Computational mathematics） 4）运筹与控制（Operational research and control） 5）概率论与数理统计（Probability and mathematical statistics） 第四页，共二十五页，2022年，8月28日 三. 数学进展的大致概况 数学发展的历史非常悠久，大约在一万年以前，人类从生产实践中就逐渐形成了“数”与“形”的概念，但真正形成数学理论还是从古希腊人开始的．公元300多年以前，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前330-前275）写了《几何原本》一书，这是自古以来所有科学著作中发行量最广、沿用时间最长的巨著． 两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段，其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数、；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支． 第五页，共二十五页，2022年，8月28日 初等数学阶段 进代数学阶段 现代数学阶段 时 间 17世纪前 17---18世纪 19世纪--- 对 特 象 点 数→常量 形→简单图形 变量 曲线（形与数统一） 曲面 集合、空间 构件、流形 （以集合和映射 为工具） 代 表 课 程 初等代数 立体几何 数学分析、高等代数、解析几何（老三样） 泛函分析、近世代数、拓扑学（新三样） 第六页，共二十五页，2022年，8月28日 近半个多世纪以来，现代自然科学和技术的发展，正在改变着传统的学科分类与科学研究的方法．“数、理、化、天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科与日新月异的技术相结合，使用数值、解析和图形并举的方法，推出了横跨多种学科门类的新兴领域，在数学科学内也产生了新的研究领域和方法，如混沌（Chaos）、分形几何（Fractal geometry）、小波分析（Wavelet transform）等．可以这样说，数学发展至今，已经拥有100多个分支的科学体系，尽管如此， 数学科学的核心领域还是： ---代数学―――研究数的理论； ---几何学―――研究形的理论； ---分析学―――沟通形与数且涉及极限运算的部分． 第七页，共二十五页，2022年，8月28日 总结 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。 第八页，共二十五页，2022年，8月28日 四. 数学学科的特点 1. 抽象性 2. 精确性 3. 应用的广泛性 第九页，共二十五页，2022年，8月28日 1. 抽象性 数学研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系。 全部数学概念都具有抽象性。但都有非常现实的背景。 数学抽象的特点在于： I.在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他； II.数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象; III.数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系的圈子之中. 第十页，共二十五页，2022年，8月28日 2. 精确性 数学的精确性表现在数学定义的准确性，推理和计