2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷（含解析）.doc

2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷 一、填空题：（满分40分，每小题4分） 1．（4分）设全集，集合，则　　． 2．（4分）在中，的取值范围是 　　． 3．（4分）将化成有理数指数幂的形式 　　． 4．（4分）已知集合，，若，则的取值构成的集合是 　　． 5．（4分）已知，，用、表示　　． 6．（4分）已知集合，，，如果且，那么　　． 7．（4分）若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为 　　． 8．（4分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　． 9．（4分）关于的不等式的解集是，则的解集是 　　． 10．（4分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为 　　． 二、选择题：（满分12分，每小题4分） 11．（4分）下列表述错误的是　　 A． B．， C．， D．若，则 12．（4分）对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②若，，则； ③“”是“”的充分条件； ④若，则； ⑤若，，则． 其中真命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（4分）已知集合为正整数，则的所有非空真子集的个数是　　 A．30 B．31 C．510 D．511 三、解答题：（满分0分） 14．已知命题，命题． （1）求集合，； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 15．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2． 16．解关于的不等式． 17．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为． （1）将表示为的函数； （2）试确定下潜速度，使总的用氧量最少． 18．（1）已知，若恒成立，求实数的取值范围． （2）已知集合，，且，求实数，的取值范围． 附加题 19．不等式的解集为，关于的不等式的解集为． （1）当时，用列举法表示； （2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围． 20．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件； （2）求函数的最小值．  2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：（满分40分，每小题4分） 1．（4分）设全集，集合，则　，　． 解：根据已知条件可得：，． 故答案为：，． 2．（4分）在中，的取值范围是 　　． 解：要使得有意义，则，且， 解得． 故答案为：． 3．（4分）将化成有理数指数幂的形式 　　． 解：． 故答案为：． 4．（4分）已知集合，，若，则的取值构成的集合是 　　． 解：，， 当时，，满足题意， 当时，，要满足题意，只需或，解得或， 综上所述：． 故答案为：． 5．（4分）已知，，用、表示　　． 解：因为，所以， 所以由换底公式得：， 因为，而，所以， ． 故答案为：． 6．（4分）已知集合，，，如果且，那么　4或1或　． 解：①当时，， 此时集合，5，，符合题意， ②当时，或， 若，集合，2，，符合题意， 若，集合，0，，符合题意， 综上所求，的值为4或1或， 故答案为：4或1或． 7．（4分）若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为 　25　． 解：根据题意，设直角三角形的直角边为，，面积为，直角三角形斜边长等于，， 则，当且仅当时，等号成立，故这个直角三角形的面积最大值为25． 故答案为：25． 8．（4分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　，　． 解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为； （2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能． （3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为， 得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得； 综上，的取值范围为，． 故答案为：，． 9．（4分）关于的不等式的解集是，则的解集是 　　． 解：等价于，因其解集为， 故可得，且，，故可得，， 则，即，等价于， 解得． 故答案为：． 10．（4分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为 　　． 解：因为，且，，， 则， 当且仅当时，即时取等号，故则的上确界为， 故答案为：． 二、选择题：（满分12分，每小题4分） 11．（4分）下列表述错误的是　　 A． B．， C．， D．若，则 解：对于表示集合，没有任何元素．对； 对于是任何空集合的子集，对； 对于：表示点集，由与的交点构成的集合．不对； 对于，中任何元素在中都有，则，对； 故选：． 12．（4分）对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②若，，则；