几类不同增长的函数模型 课件.ppt

　几类不同增长的函数模型 1．三种函数模型的性质 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 ______ ______ ______ 图象的变化 随x的增大逐渐变“____” 随x的增大逐渐趋于____ 随n值而不同 增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2．指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较 (1)对于指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于______的增长快于______的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______． (2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于________的增长慢于______的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有________． y＝ax y＝xn ax>xn y＝logax y＝xn logax<xn 1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上具有相同的增长速度吗？ 【答案】增长速度不同．如图所示，在(0,2)之间y＝x2的增长速度较快，在(2,4)之间函数值均从4增大到16，而x＝4之后，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度． 2．函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)在区间(0，＋∞)上哪一个衰减得快？ 【答案】函数y＝logax(0<a<1)． 1．直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)． (1)通过实例结合图象初步发现：当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快． 要点阐释 (2)通过计算器或计算机得出多组数据，结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会： 直线上升，其增长量固定不变． 指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容． 对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度． 2．三类函数模型函数增长的变化规律 我们知道，对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，这三类函数的增长是有差异的．下面，我们不妨先以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例进行探究． (1)在同一坐标系内，先用计算机列表，然后作出函数图象(如右图所示)． 观察归纳结论：y＝2x和y＝x2都比y＝log2x增长得快得多，但y＝2x与y＝x2的增长情况区分度不明显． (2)观察y＝2x和y＝x2的增长情况． 在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象(如下图所示)． 观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2x>x2，有时x2>2x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的． 一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn. (3)观察y＝x2和y＝log2x的增长情况． 在同一直角坐标系内画出函数y＝x2和y＝log2x的图象(如右图所示)． 观察归纳结论：在区间(0，＋∞)上，总有x2>log2x. 对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就渐渐与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn. 题型一　一次函数模型的应用 【例1】 北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里， 有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元． 典例剖析 思路点拨：本题根据题意可求得函数解析式，再利用单调性求最值． 解：设每天从报社买进x(250≤x≤40