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June 30, 2012 四川大学数学学院 徐小湛 用曲线积分求旋转曲面的面积 * 第一页，共二十六页，2022年，8月28日 作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。 本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。 将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。 * 第二页，共二十六页，2022年，8月28日 先看特殊的情形 旋转轴为坐标轴 * 第三页，共二十六页，2022年，8月28日 设L是上半平面内的一条平面曲线。 将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。 我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。 L * 第四页，共二十六页，2022年，8月28日 L 在曲线L的(x,y)处取一弧微分 它到x轴的距离是 y （如图）。 该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为： （面积元素） 于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为： * 第五页，共二十六页，2022年，8月28日 命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为： L * 第六页，共二十六页，2022年，8月28日 命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为： 同理 L * 第七页，共二十六页，2022年，8月28日 下面针对不同的曲线方程 将曲线积分化为定积分 得到熟悉的旋转曲面的面积公式 * 第八页，共二十六页，2022年，8月28日 直角坐标方程 * 第九页，共二十六页，2022年，8月28日 y=f(x) 如果 L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为： * 第十页，共二十六页，2022年，8月28日 y=f(x) 如果 L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为： * 第十一页，共二十六页，2022年，8月28日 参数方程 * 第十二页，共二十六页，2022年，8月28日 如果 L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为： * 第十三页，共二十六页，2022年，8月28日 如果 则L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为： * 第十四页，共二十六页，2022年，8月28日 极坐标方程 * 第十五页，共二十六页，2022年，8月28日 如果 L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为： * 第十六页，共二十六页，2022年，8月28日 我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和 旋转曲面面积之间的关系的定理： 古尔丁定理 Paul Guldin（古尔丁） 1577 – 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity. * 第十七页，共二十六页，2022年，8月28日 L 上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。 古尔丁定理 形心 * 第十八页，共二十六页，2022年，8月28日 如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。 L 形心 * 第十九页，共二十六页，2022年，8月28日 June 30, 2012 四川大学数学学院 徐小湛
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