线性代数课件矩阵秩与向量组秩的关系.ppt

第一页，共二十页，2022年，8月28日 按行分块得到 第二页，共二十页，2022年，8月28日 将该矩阵按列分块得到 第三页，共二十页，2022年，8月28日 称为A的行向量组 称为A的列向量组 定义9 矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。 矩阵A的秩与其行秩和列秩有什么关系呢？ 第四页，共二十页，2022年，8月28日 先看一个例子 此矩阵为具有4个非零行的B-型矩阵 第五页，共二十页，2022年，8月28日 显然B的列向量组 线性无关，并且 故 是B的列向量组的极大无关组。 第六页，共二十页，2022年，8月28日 B的列秩＝B的秩＝r 一般的，对有r个非零行的B-型阶梯型矩阵，有 B的列秩＝B的秩＝4 引理 设矩阵A经过行初等变换化为B，分别记为： 第七页，共二十页，2022年，8月28日 之间有完全相同的线性关系，即 则A的列向量组与B的列向量组 当且仅当 证 因为矩阵A经过行初等变换化为B，A的列向量组与B的列向量组等价，也就是说齐次线性方程组AX=0 与BX=0同解，即 第八页，共二十页，2022年，8月28日 有相同的线性相关性。 于是知列向量组 与 同解 与 第九页，共二十页，2022年，8月28日 定理5 矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。 证 设矩阵 B是与之对应的B-型阵 设A的r阶非零子式 下证A的列向量组的秩为r 所在的r列构成的 矩阵为 第十页，共二十页，2022年，8月28日 显然 即B的r个列向量线性 无关，而A的任意r+1 列所构成的矩阵的秩小于等于 所以A的任意r+1 列向量线性相关，因此，B的r个列向量为矩阵A的列向量组的极大无关组。所以 A的列秩等于r。 第十一页，共二十页，2022年，8月28日 故： A的秩=A的行秩=A的列秩 的列向量组，又 因为A的行向量组就是 例1 设向量组 第十二页，共二十页，2022年，8月28日 求该向量组的极大无关组，并把 其余向量由极大无关组线性表示。 解： 以 为列构造矩阵A，并利用初等行 变换把A化成行简化型阶梯矩阵B 第十三页，共二十页，2022年，8月28日 第十四页，共二十页，2022年，8月28日