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行列式线性代数教程 第一页，共三十七页，2022年，8月28日 7.1 行列式 主要内容： 1. 二阶行列式. 2. 三阶行列式. 3. n阶行列式. 4. 行列式的性质. 5. 克莱姆法制. 第二页，共三十七页，2022年，8月28日 我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算．考虑二元线性方程组 一、 二阶行列式 第三页，共三十七页，2022年，8月28日 如果 那么方程组的解为 第四页，共三十七页，2022年，8月28日 如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表 引入记号| | 那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为 此式的右端称为二阶行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列． 第五页，共三十七页，2022年，8月28日 例1 计算下列各行列式 第六页，共三十七页，2022年，8月28日 类似地，三元线性方程组 二、 三阶行列式 第七页，共三十七页，2022年，8月28日 的系数所构成的行列式规定为 此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式． 第八页，共三十七页，2022年，8月28日 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号．这种展开法称为对角线展开法． 这种展开法称为对角线展开法 第九页，共三十七页，2022年，8月28日 下面介绍三阶行列式的展开式： 第十页，共三十七页，2022年，8月28日 其中A11、A12、A13分别称为a11、a12、a13的代数余子式， 第十一页，共三十七页，2022年，8月28日 例2 计算下列三阶行列式： 第十二页，共三十七页，2022年，8月28日 第十三页，共三十七页，2022年，8月28日 三、n阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，……，依此类推，一般地，可以用n个n-1阶行列式来定义n阶行列式，下面给出n阶行列式的定义： 定义 设n-1阶行列式已经定义，规定n阶行列式 第十四页，共三十七页，2022年，8月28日 其中 A1j=(-1)1+jM1j ( j=1,2,………n ) 这里M1j为元素a1j的余子式，即为划掉A的第1行第j列后所得的n-1阶行列式，A1j称为a1j的代数余子式． 第十五页，共三十七页，2022年，8月28日 由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式．这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开． 第十六页，共三十七页，2022年，8月28日 解 因为a12=a13=0 所以由定义 第十七页，共三十七页，2022年，8月28日 例4 计算行列式. 第十八页，共三十七页，2022年，8月28日 解 由定义，将Dn 按第一行展开，得 第十九页，共三十七页，2022年，8月28日 行列式D与它的转置行列式DT的值相等． 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和． 四、行列式的性质 性质1 性质2 第二十页，共三十七页，2022年，8月28日 如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD．也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面． 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反． 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零． “行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数k，使ali=kalj(l=1,2…n)． 性质3 性质4 推论 性质5 第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日 第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等． 由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法： 1.以（r）代表行，（c）代表列． 2.把第i 行（或第i 列）的每一个元素加上第j 行（或第j 列）对应元素的