《工程数学》教案 3.1.1-3.1.2 n维向量及其线性关系.docx

课题 3.1.1-3.1.2 n维向量及其线性关系 课时 1课时（45 min） 总 8课时 教学目标 知识技能目标： 理解n维向量的概念及其运算。 理解向量组的线性相关性。 素质目标： 通过学习向量的有关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯 教学重难点 教学重点：n维向量的概念 教学难点：有关向量组的线性相关 教学方法 讲练结合法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 ?课前任务→考勤（2 min）→问题导入（5 min）→传授新知（23 min）→强化训练（10 min）→课堂小结（3 min）→作业布置（2 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 课前任务 【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，提前预习本课要讲的知识 【学生】完成课前任务 通过课前任务，使学生了解n维向量的知识，增加学生的学习兴趣 考勤 （2 min） 【教师】使用APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 问题导入 （5 min） 【教师】提出以下问题: 什么是维向量？ 【学生】思考、举手回答 通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣 传授新知 （23 min） 【教师】通过学生的回答引入要讲的知识 知识点 n维向量及其运算 ?【教师】讲解n维向量的定义 定义1 由个数组成的一个有序数组，称为一个维向量，简称为向量，通常用小写希腊字母等表示． 例如，维向量常用表示，记作 其中称为向量的分量． 向量有时也可以写成列的形式 ． 为了区别起见，对写成行形式的向量称为行向量，对写成列形式的向量称为列向量．有时也把上述列向量记作，称为的转置向量． 定义2 如果两个维向量与对应的分量相等，则称这两个向量相等，记作 ． 定义3 设向量，，则向量 称为向量与的和，记作，即 ． 向量称为的负向量，记为，即 ． 两个向量与的差，可看成是与的负向量的和，记为，即 ． 定义4 设，为一个实数，则向量称为数与向量的乘积，记作，即 ． 向量的加法、减法和数与向量的乘法运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算律与矩阵类似，这里不再列出． 如果一个维向量的所有分量都等于零，则称它为零向量，用表示，即 ． ?【学生】记忆、理解 ?【教师】通过定义的理解，提出例题 例1 已知，，求．． 例2 将方程组 （3-1） 表示为向量形式． ?【学生】演算、对比计算结果 知识点 向量组的线性相关性 ?【教师】讲解向量组的线性相关性 定义5 设为个维向量，为任意个数，若向量 ， 则称为的一个线性组合，或称可由线性表示（或线性表出）． 定义6 设为个维向量，若存在一组不全为的数使 ， 则称这个向量线性相关，否则就称这个向量线性无关． ?【学生】记忆、理解 ?【教师】通过定义的理解，提出例题 例3 证明向量可由向量，，线性表示，并具体将用表示出来. 例4 证明下述3个向量 线性相关． 例5 证明一个向量线性相关的充要条件是，即是一个零向量. 例6 证明含有零向量的向量组必线性相关． 例7 证明下列个维向量必线性无关： ． 例8 设，试讨论它们的线性相关性． ?【学生】演算、对比计算结果，了解向量组线性相关的充要条件 ?【教师】提出向量组线性相关的充要条件 定理1 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以被其余向量线性表出. 【学生】交流、理解、演算 通过教师讲解和例题分析，使学生理解n维向量的概念，并掌握向量组的线性相关性的判定 强化训练 （10 min） 变式训练 （5 min） 【教师】通过课堂例题进行变式训练 设有向量组 ，试确定的值，使得． 【学生】黑板板演 【教师】巡视纠错 使用讲练结合的方式，充分了解学情 课堂达标 （5 min） 【教师】布置练习题 判定向量组 是否线性相关． 【学生】练习 课堂小结 （3 min） 【教师】简要总结本节课的要点 本节课学习了n维向量的概念及其线性相关性的相关知识，大家要重点掌握线性相关性的判定。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。 【学生】总结回顾知识点 总结知识点，加深n维向量的概念及其线性相关性相关知识的印象 作业布置 （2 min） 【教师】布置课后作业 完成能力训练3-1中的1，3，5题 【学生】完成课后任务 通过课后作业复习巩固学到的知识 教学反思 本节课的教学效果整体不错，大部分学生都能很好地掌握并运用所学知识，只是