《高职工科应用数学》教案 6.4矩阵的初等变换.docx

课题 矩阵的初等变换 课时 1课时（45min） 总 46课时 教学目标 知识技能目标： （1）理解矩阵的秩和初等变化的定义。 （2）掌握矩阵的秩求法，矩阵的初等变化，以及逆矩阵的求法。 思政育人目标： 能够意识数学在整个生活中的应用价值，感受数学解决生活实际问题的妙处，培养热爱学生热爱学习数学的习惯，树立探究意识，使其能激发学生的发散思维能力 教学重难点 教学重点：矩阵的初等变化、秩、逆矩阵的概念 教学难点：矩阵的线性变化、秩、逆矩阵的求法 教学方法 讲练结合法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 ?课前任务→考勤（2 min）→问题导入（4 min）→传授新知（20 min）→解题技巧归纳（4 min）→强化训练（10 min）→课堂小结（3 min）→作业布置（2 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 课前任务 【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，完成课前任务 请大家扫码观看“矩阵的初等变换”视频，预习本节课所讲知识。 【学生】完成课前任务 通过课前任务，使学生了解所学知识，增加学生的学习兴趣 考勤 （2 min） 【教师】使用APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 引例导入 （4 min） 【教师】讲解引例6.3，帮助学生理解初等变换的概念 【学生】聆听、思考、理解 通过引例导入的方法，引导学生从实际问题出发理解数学知识，激发学生的学习兴趣 传授新知 （20 min） 【教师】讲解新知 知识点 矩阵的初等变换 ?【教师】介绍常见初等变换 定义6.15 对矩阵施行的以下三种变换，我们统称为矩阵的初等行变换． （1）换行变换：将矩阵的第行与第行互换，记作； （2）倍乘变换：以非零常数乘以矩阵的第行，记作； （3）消去变换：将矩阵某一行所有元素的倍加到另一行的对应元素上，记作，表示第行的倍加到第行． 若将定义中施行的“行变换”变成“列变换”，可得到矩阵的三种初等列变换，并分别记为 ；；． 初等行变换与初等列变换统称为初等变换． ?【学生】合作学习，理解 ?【教师】通过定义的理解，讲解简单例题 例6.15 利用初等行变换将矩阵化为三阶单位矩阵． ?【学生】聆听例题，演算例题，同桌对比计算结果，提高计算能力 知识点 矩阵的秩 ?【学生】介绍矩阵的秩的概念 定义6.16 若矩阵每行的第一个非零元素所在的列中，此元素下方的所有元素均为零，称该矩阵为阶梯形矩阵． 定理6.3 任意非零矩阵经过若干次初等行变换后均可化为阶梯形矩阵． 定义6.17 （矩阵的秩）矩阵化为阶梯形矩阵后，其中非零行的行数，称为矩阵的秩，记作． 在矩阵的初等行变换过程中，不会改变矩阵的秩，且矩阵的秩等于它的阶梯形矩阵的非零行的行数，即有 （阶梯形矩阵），． 零矩阵的秩为0，即． 若阶方阵的秩为，则称该矩阵为满秩矩阵． ?【学生】理解法则 ?【教师】讲解重要定理． 定理6.4 阶方阵可逆的充要条件是矩阵的秩，即为满秩矩阵． ?【教师】通过定义的理解，讲解简单例题 例6.16 将矩阵化为阶梯形矩阵． 例6.17 设矩阵，，求两矩阵的秩和 ?【学生】聆听例题，演算例题，同桌对比计算结果，提高计算能力 知识点 用初等行变换求逆矩阵 ?【学生】讲解逆矩的概念 用初等行变换求逆矩阵的基本步骤是：将方阵和同阶的单位矩阵，写成一个长方矩阵，对其施以矩阵的初等行变换，将竖线左边的化为单位矩阵，竖线右边的则变成了的逆矩阵，即 ． 该方法是由德国数学家高斯首先提出的，因此也称之为高斯求逆法． ?【学生】认真聆听、理解所给的概念的内容，必要时请在书上做标记 ?【教师】通过定义的理解，讲解例题 例6.18 判断矩阵是否可逆，若可逆，则请你利用初等行变换求其逆矩阵． ?【学生】认真聆听、理解、演算 知识点 用逆矩阵法求解线性方程组 ?【学生】讲解逆矩阵法求解线性方程组的方法 结合矩阵的乘法和逆矩阵的概念，在求解线性方程组时，若系数矩阵的逆矩阵存在，则用左乘该方程，得到，而，，因此有 ， 上式即为线性方程组的解． ?【学生】理解法则 ?【教师】讲解应用逆矩阵解方程 例6.19 用逆矩阵法求解线性方程组 例6.20 （矩阵加密法）在军事通讯中，常将字符（信号）与数字对应，即 例如，信息对应信号矩阵，但按这种方式传输信号，很容易被敌方破译，因此必须采取加密措施．通常采用的加密方式是用一个约定的加密矩阵乘以原信号矩阵形成矩阵（），然后将矩阵（加密）作为信号传送，收到信号的一方再将信号还原（破