第11讲 数列的奇偶性问题（解析版）.docxVIP

第11讲 数列的奇偶性问题 一．选择题（共5小题） 1．已知数列满足，，则　　 A． B． C． D． 【解析】解：数列满足，，可得， 则 ． ． 故选：． 2．已知数列满足，， ，则数列的前2017项的和为　　 A． B． C． D． 【解析】解：由，，，得 ， ， ， ， ， 累加得： ， ． ． 则 ． 故选：． 3．数列满足，则的前60项和为　　 A． B． C． D． 【解析】解：根据题意，数列满足，当为奇数时，有， 其中当时，有， 当时，有， 当时，有， 当时，有， 则的前60项和 ； 故选：． 4．数列满足，则数列的前60项和为　　 A．1860 B．5100 C．3720 D．930 【解析】解：数列满足， 为偶数时，，即． 为奇数时，，即． 相减可得：． 由，可得：． 可得：． 则数列的前60项和 ． 故选：． 5．已知数列满足，，是数列的前项和，则　　 A． B． C． D． 【解析】解：数列满足，， 当时，解得， 所以（常数）， 所以数列，，，是以1为首项，2为公比的等比数列， 同理数列，，，是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以． 故选：． 二．填空题（共4小题） 6．已知数列满足，若，则　1　，前60项的和为　 　． 【解析】解：数列满足，，，解得． ，解得． ， 有，，，，，，． 从而可得，，，，，，，， 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． 的前60项和为， 故答案为：1，1830． 7．已知数列的前项和为，，，则的值为　　． 【解析】解：由，得： ，，，，． 把以上各式相加得： ， ，， 则． 故答案为：． 8．已知数列满足，则的前50项的和为　1375　． 【解析】解：当是奇数时，；当是偶数时，． 则， 的前50项的和， ， ， ， ， 故答案为：1375 9．已知函数，数列满足，则　　． 【解析】解：函数，数列满足， ． ． ． ． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 10．已知数列满足：，，，． （1）求、、、的值； （2）设，，试求； （3）比较、、、的大小关系． 【解析】解：（1）因为，，， 所以， ， ， ， ， ， 所以、、、的值分别为：3，5，5，8； （2）由， 可得， 可得， 可得， ， ， 两式相减可得 ， 化简可得，； （3） ， ， ， ， 则． 11．已知数列的通项公式为． （1）写出这个数列的前6项，并画出图象； （2）判断7是该数列的第几项？ 【解析】解：（1）数列的通项公式为． 这个数列的前6项，分别为：1，1，1，3，1，5． 画出图象； （2）令，解得． 则7是该数列的第8项． 12．已知数列满足：． （Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由； （Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅲ）设，求数列的前项和． 【解析】解：（Ⅰ），，，．（3分） 因为，，，所以数列不是等差数列． 又因为，所以数列也不是等比数列．（5分） （Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，（7分） 从而对． 所以数列的通项公式是．（9分） （解法二）因为对任意正整数，， 得， 所以数列是每项均为0的常数列， 从而对， 所以数列的通项公式是．（7分），， 所以数列是首项为，公差为的等差数列．（9分） （Ⅲ），，，也适合上式． 所以数列的通项公式为．（11分） （解法一）设数列的前项和为，则当，，时，，，．（12分） ， ．（14分） （解法二）利用待定系数法可得：对，有， ，（12分） 从而，，（13分） 所以．（14分） 13．已知数列满足：，，； （1）求、、； （2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式； （3）求和； 【解析】解：（1），， 可得； ，； （2）证明： ， 可得数列为公比为，首项为等比数列， 即； （3）由（2）可得， ． 14．（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式． （2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式． （3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求． 【解析】解：（1）由题意：， 变形得：，（1分） 数列是以为公比，为首项的等比数列．（3分） ， 即．（5分） （2）由等差数列、知：，； 由得：，（6分） ， ， ，解得； （8分） ，和分别是等差数列、的前项和； 可设，； ， ，即．（10分） 当时，， 当时，． 综上得：．（12分） （3）当时， （14分） 当时， ．（16分）