中考专题复习 三角形全等的辅助线专题.docx

“基本辅助线”系列 专题一 中点问题常见辅助线 类型一：构造中线 构造中线： 1、遇到直角三角形斜边上的中点，则连接顶点和中点，构造中线. 目的：利用“Rt△中，斜边上的中线等于斜边的一半”. 基本图形： 2、等腰三角形（等边△）中有中点，连接顶点和中点，构造中线. 目的：利用“三线合一” 基本图形： 例：如图，点D 为等腰 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，DE⊥DF，求证：DE=DF，若AB=2,求四边形 DECF 的面积. 类型二：倍长中线 目的：全等转换，将分散的条件集中到一个三角形中解决问题. 经典范例：已知三角形的两边长分别为 3、4，求第三边上的中线 m 的取值范围. 变式训练：已知三角形的一边长为 4，另一条边上的中线为 5，则第三边 x 的取值范围为？ 巩固训练：已知△ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证：（1）EF=2AD；（2）EF⊥AD. 类型三：倍长以中点为端点的线段 目的：全等转换，将分散的条件集中到一个三角形中解决问题. 经典范例：已知△ABC 中，D 是 BC 的中点，E、F 分别在 AB、AC，DE⊥DF 求证：BE+CF>EF. 巩固训练：如图AD 为△ABC 的中线，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB、AC 于点 E、F， 且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF >EF. 巩固训练 1、如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围. 2、如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE. 3、如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°，求证：AM⊥DC. 4、如图， ?ABC 中， BD ? DC ? AC ， E 是 DC 的中点，求证： AD 平分?BAE . 5、已知：如图 AD 为?ABC 的中线， AE ? EF ，求证： BF ? AC . 6、如图，已知AD 为?ABC 的角平分线，AB ? AC ，在 AC 上截取CE ? AB ，M、N 分别是 BC、AE 的中点，求证： MN // AD . “基本辅助线”系列 专题二 由角平分线想到的辅助线 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模. 型已知 P 是∠MON 平分线上的一点， 若 PA⊥OM 于点 A，如图 2-2（a），可以过 P 点作 PB⊥ON 于点 B，则有 PB=PA， 可以记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”. 若点 A 是射线 OM 上任意一点，如图2-2（b），可以在ON 上截取 OB=OA，连接 PB， 构造△OPB≌△OPA，可记为“图中有角平分线，可将图对折看，对称以后关系现”. 若 AP⊥OP 于点 P，如图 2-2（c），可以延长 AP 交 ON 于点 B，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边 AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”. 若过 P 点作 PQ∥ON 交 OM 于点 Q，如图2-2（d），可以构造△POQ 是等腰三角形， 可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”. 例 1：如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证：点F 在∠BAC 的平分线上. 巩固训练： 1、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180°，CE⊥AD 于 E， 猜想 AD、AE、AB 间数量关系，并证明你的猜想. 2、如图：在△ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD=DF， 试说明 CF=EB. 3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC的一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E 是DC的中点. 巩固训练： 1、如图,BC>BA,BD 平分∠ABC,且 AD=CD,求证：∠A+∠C=180°. 2、如图,AB‖CD,AE、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE, 求证:AD=AB+CD. 3、已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD 4、已知 CE、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD