第1章 梅涅劳斯定理及应用(含答案).docVIP

第一章涅劳斯定理及应用 【基础知识】 梅涅劳斯定理 设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，，三点共线，则． ① 证明 如图，过作直线交的延长线于，则 ，，故 ． 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法． 正弦定理证法 设，，，在中，有，同理，，，此三式相乘即证． 面积证法 由，，，此三式相乘即证． 梅涅劳斯定理的逆定理 设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若 ， ② 则，，三点共线． 证明 设直线交于，则由梅涅劳斯定理，得到． 由题设，有，即有． 又由合比定理，知，故有，从而与重合，即，，三点共线． 有时，也把上述两个定理合写为：设，，分别是的三边，，所在直线（包括三边的延长线）上的点，则，，三点共线的充要条件是 ． 上述①与②式是针对而言的，如图（整个图中有4个三角形），对于、、也有下述形式的充要条件： ；；． ③ 第一角元形式的梅涅劳斯定理 设，，分别是的三边，，所在直线（包括三边的延长线）上的点，则，，共线的充分必要条件是 ． ④ 证明 如图，可得 ． 同理，，． 以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立． 第二角元形式的梅涅劳斯定理 设，，分别是的三边，，所在直线上的点，点不在三边所在直线上，则，，三点共线的充要条件是 ． ⑤ 证明 如图，由，有 ． 同理，，． 于是． 故由梅涅劳斯定理知，，共线． 从而定理获证． 注 （1）对于④、⑤式也有类似③式（整个图中有4个三角形）的结论． （2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式中的右端均为，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的对应线段记忆．特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的延长线上． 【典型例题与基本方法】 1．恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键 例1 如图，在四边形中，，，的面积比是3∶4∶1，点，分别在，上，满足∶∶，并且，，共线．求证：与分别是和的中点． （1983年全国高中联赛题） 证明 设（），交于． ， ，． ． 又因，，三点共线，可视为的截线，故由梅涅劳斯定理，得 ，即． 化简整理，得 ， 解得，（舍去）． 故与分别是和的中点． 例2 如图1-5，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．（1999年全国高中联赛题） 证明 记，，，直线与相截，由梅涅劳斯定理，有 ． 故 ． 即 ， 亦即 ，且只可能为0，故 ． 例3 设、分别为四边形的边、上的点，与交于点．若，则． 证明 如图1-6，只需证得当关于的等角线交于时，、、共线即可． 事实上，、、分别为三边所在直线上的三点，且不在其三边所在直线上． 又，，， 由第二角元形式的梅涅劳斯定理，有 ．故、、三点共线． 注 当平分时，即为1999年全国高中联赛题． 2．梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2另证 如图1-5，设，关于的对称点分别为，，易知，，三点共线，连，，只须证明，，三点共线． 设，，，则． 对，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线．故． 注 在图1-5中，*式也可为，若在的延长上，则*式为． 例4 如图1-7，与和的三边所在的3条直线都相切，，，，为切点，直线与交于点．求证：． （1996年全国高中联赛题） 证法1 过作于，延长交直线于点．对及截线应用梅涅劳斯定理，有 ． 由，有． 显然，，三点共线，连，，，，则由，有，从而 ，即． 又，则． 对，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知，，三点共线，即为直线与的交点．故点与点重合，从而． 证法2 延长交于，直线与的三边延长线都相交，直线与的三边延长线都相交，分别应用（迭用）梅涅劳斯定理，有 ，． 上述两式相除，则有． 而，，于是，即． 连，，，，，，而，，共线，则，，且，从而，于是．故，即． 【解题思维策略分析】 梅涅劳斯定理是三角形几何学中的一颗明珠，它蕴含着深刻的数学美，因而它在求解某些平面几何问题，特别是某些平面几何竞赛题中有着重要的应用． 1．寻求线段倍分的一座桥梁 例5 已知的重心为，是边的中点，过作边的平行线交边于，交边于，且与交于点，与交于点．证明：． （1991年第3届亚太地区竞赛题） 证明 如图1-8，延长交于，则为的中点．由，知，而． 对及截线，应用梅涅劳斯定理，有 ，故． 从而，且． 同理，，且． 由此可知，与的两边分别平行且方向相反，从而，且，故． 例6 是一个等腰三角形，，是的中点；是的延长线上的一点，使得；是线段上不同于和的任意一点，在直线上，在直线上，使得，，是不同的和共线的，求证： （Ⅰ）若，则； （Ⅱ）若，则． （