电子科技大学《复变函数》课件-第6章留数理论及其应用.pptVIP

例6 计算积分 解 在上半平面有二阶极点 一级阶点 例7 计算积分 解： 在上半平面只有一个 又 二阶极点 故 注意 以上两型积分中被积函数中的f (x)在实轴 上无孤立奇点. 例8 计算积分 分析 因 在实轴上有奇点 为使封闭路线不经 过奇点, 可取图示路线: 解: 取封闭曲线C: 由柯西积分定理得: 由 当 充分小时, 总有 即 例9 证 取路径C如图， 令两端实部与虚部分别相等，得 菲涅耳(fresnel)积分 1、对数留数 2、辐角原理 3、儒歇定理 在实际问题中，需要知道某些函数 (多项式、解析函数) 零点的分布情况，这对研究运动的稳定性是有用的。建立在留数理论基础上的辐角原理，对解决这个问题是很有效的 . §3 辐角原理及其应用 定义: 说明: 对数留数即函数 f (z)的对数的导数 在C内孤立奇点留数的代数和; 函数 f(z)的零点和奇点都是 的奇点. 1、对数留数 1) 2) 由对数留数得出的辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法. 特别地，借此可研究在指定区域内多项式零点个数问题. 注意: n 阶的零点或极点算作 n 个零点或极点 . 证 , , , 2 1 m p p p m L 个阶数分别为 和 , , , 2 1 l a a a L 的零点 ) ( l C z f 个阶数分别为 内有 在 如果 [证毕] 则由留数定理，得 , , , , 2 1 m b b b L 的极点 对数留数的几何意义 2、辐角原理 可见, 利用无穷远点的留数计算更简单. 例8 计算积分 解 由留数定理知 由于 与 1在|z|=2的内部, 所以 作 业: §2 用留数定理计算实积分 留数定理为某些类型积分的计算提供了极为有效的方法.其要点是：把求实函数的定积分和反常积分化为复变函数沿周线的积分，然后应用留数定理，使沿周线积分的计算归结为留数计算. 思想方法 : 路线的积分 . 两项主要工作: 1) 将积分范围化为复周线 2) 将被积函数化为复函数 把定积分化为一个复变函数沿某封闭 当 历经变程 时, 的 正方向绕行一周. z 沿单位圆周 z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 例1 计算积分 解: 则 可用留数定理计算 例2 计算积分 解 则 例3 解 故积分有意义. 则 故由留数定理得 例4 计算 解 则 (在单位圆内) (在单位圆外) 分析 可先讨论 最后令 即可 . 有理函数 f (z) 的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴上无孤立奇点. 2. 积分区域的转化: 取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间 一起构成一条封闭曲线, 并使f (z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析. (此法常称为“围道积分法”) 1. 被积函数的转化: (当z在实轴上的区间内变动时 , f (z)=f (x)) 可取 f (x)=f (z) . x y . . 这里可补线 (以原点为中心 , R为半径 的在上半平面的半圆周) 与 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其 内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 取R适当大, 使f (z)所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内. 根据留数定理得 : 当 充分大时, 总可使 在数学分析及实际问题中, 往往要计算一些定积分或反常积分. 而这些积分中被积函数, 有时原函数不能用初等函数来表示, 或者即使可以求出原函数, 计算也常常比较复杂 . 因此需要寻求新的计算方法. 例如，可以考虑把实积分转化为复积分, 以便利用复积分理论. 而留数理论正是这方面的重要工具. 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物, 除提供计算积分的新方法外, 本身也是复变函数论的重要理论. 本章先叙述留数的一般理论, 然后介绍在积分计算中的应用, 最后给出辐角原理和儒歇定理. 第六章 留数理论及其应用 电子科技大学《复变函数》 1、留数的定义及留数定理 2、留数的求法 3、函数在无穷远点的留数 §1 留 数 设 为 的一个孤立奇点， 内的洛朗级数为: 在 . 内包含 的任一条正向简单闭曲线. 的某去心邻域 1、留数的定义及留数定理 0 0 (柯西积分定理) 定义6.1 定理6.1(留数定理) 在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇点 函数 证 如图， 由复合闭路定理知 . . . [证毕] 两边同时除以 ，则 说明: 留数定理将沿封闭曲线 C