三垂线定理及其应用.pptx

三垂线定理及其应用aAPoα第1页，共16页。 三线概念:平面的斜线、垂线、射影aAPoα PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; AO是PO在平面α内的射影.三垂线定理第2页，共16页。 性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直 PO 平面PAOa⊥PO③ 三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。PA⊥αa α①PA⊥aAO⊥aPA∩AO=A②a⊥平面PAO三垂线定理PaAoα已知:如图,PO为平面α的斜线, PA⊥α , a在平面α内且垂直PO的射影AO.求证:a⊥PO证明:第3页，共16页。 1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间 的垂直关系. 2、a与PO可以相交，也可以异面. 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理.三垂线定理的说明：三垂线定理4 、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内 两直线的垂直问题.aAPoα第4页，共16页。 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b。 ( ) 2°定理的关键找“平面的垂线”. 强调：1°四线是对同一个平面而言. (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 ( ) ××三垂线定理aAPoα第5页，共16页。 定理应用例1. 如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证AB⊥PC.PABCD证明: ∵ PD⊥平面ABC, ∴ DC为PC在平面的射影, 而△ABC为等腰三角形, D为AB的中点,∴ AB ⊥ CD∴ AB ⊥PC (由三垂线定理) 第6页，共16页。 例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结 BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C ∵DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵ABCD是正方形∴AC⊥BD (AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1 A1D1C1B1ADCB同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射影 , AB1 ⊥ BD1 而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，( 请思考：如何证明D1B⊥AB1 )连结A1B三垂线定理定理应用第7页，共16页。 关于用三垂线定理证明空间两直线垂直问题，关键是找出或作出平面的垂线,至于射影则是由垂足和斜足来确定的。 证明a⊥b(线线垂直)的一个程序：一垂、二射、三证。即第一、找或作平面垂线. 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。三垂线定理第三、证明直线a与射影线垂直，从而得出a与b垂直。第8页，共16页。 1. 如图,PA垂直⊙O所在平面,AB为圆的直径,C 为 圆上的任意一点(不同于A,B),则图中有多少个直角三角形?练习:PABCO答:有4个,分别是:△PAB,△PAC,△ACB,△PCB.第9页，共16页。 例3,道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的距离？(测角器只能测水平面角) 解：在道路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，BAC90°三垂线定理定理应用 ∵BC是AC的射影,且CD⊥BC,∴CD⊥AC (三垂线定理) 因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。第10页，共16页。 BAC90° ∴BC= a米，在直角△ABC中,AC2=AB2+BC2， AC= 152+a2 米 答：电塔顶A与道路的距离是 米。再在道路边取一点D，使∠CDB=45°,则CD=CB可测得C、D的距离等于a米,●D45°第11页，共16页。 2.如图,AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2, a,b成30o角,在a上取点P使AP=4,则点P到直 线b的距离:____.ABPCD练习:ab第12页，共16页。 例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 , AA1= , E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小? ABCDEFA1B1C1D1解:连接BD,AC,AC交E