分子模拟教程径向分布函数.ppt

Monte Carlo方法的特点 计算的收敛性和收敛速度均与问题的维数无关，适合解决高维问题。 对问题的适应能力强。 收敛速度仅为样本数的-1/2次，因而计算耗时大。 第三十页，共七十三页，2022年，8月28日 Monte Carlo方法的应用举例： 计算积分： 常用的积分方法求解： 将积分区域[a,b]均匀地划分成N各分区间，则积分结果可近似地表示成： Δx = (b-a)/N 第三十一页，共七十三页，2022年，8月28日 简单的Monte Carlo积分方法求解： 利用均匀分布的随机数发生器，从[a,b]区间产生一系列随机数xi，i=1, 2, ..., N 其中 X为均匀分布，并且 X?[a,b] 近似求解E[g(X)]: 近似求解积分: 随机抽样 第三十二页，共七十三页，2022年，8月28日 当我们用简单Monte Carlo计算积分时，若该函数为常数函数，g(x)=constant，则取样数不管多少，准确度为100％。 如果在积分区间内，g(x)为一平滑函数，则简单Monte Carlo方法较为准确，反之，如果g(x)的变动很剧烈，则简单Monte Carlo方法的误差会变大。 说明： 第三十三页，共七十三页，2022年，8月28日 重要性Monte Carlo抽样方法 在 g(x) 变化剧烈时，如果以Monte Carlo方法取样，最好依据g(x)的大小来决定取样率。 当|g(x)|的值较大时，对∫g(x)dx的贡献也较大，如果没被选中，则结果的误差极大。 解决方式：改变 x被选中的机率，让|g(x)| 值较大的点被选中的机率增加。 采用权重分布函数(Weight distribution function) w(x) :决定每个x被选中的机率。 重要性抽样的定义：根据一定的分布形式进行的随机抽样。 第三十四页，共七十三页，2022年，8月28日 w(x)必须归一化，即在积分区间内∫w(x)dx=1。 由于 x 的选取已被 w(x) 扭曲，所以计算积分时要把这部分[还]回去：若一共取样了N个x，则积分值为： 重要性Monte Carlo抽样方法 第三十五页，共七十三页，2022年，8月28日 Metropolis Monte Carlo方法 我们所模拟的系统最终要达到的平衡分布是Boltzman分布： Boltzmann 概率分布函数： 我们如果能够产生这种分布，我们就能够计算系统的大多数性质，但这是不可能的，因为我们不知道Z的值，但是对于任意两个状态，我们有： 可以在相空间中构造一个马尔科夫链，使相空间中的样本点随着链的增长逐步趋近于Boltzman分布。 第三十六页，共七十三页，2022年，8月28日 一个序列x0, x1, x2, …,xn,如果对任何n都有： 则此序列是一个Markov链。 要求： 任何一次实验的结果依赖于前一次的试验，并且近依赖于前一次的试验。 马尔科夫(Markov)链 可以证明：通过构造Markov链，体系中最终的平衡分布就是Boltzman分布 第三十七页，共七十三页，2022年，8月28日 Metropolis平衡条件 (Detailed balance condition)： 平衡条件： 系统处于状态X的概率正比于其Boltzman因子： 如果?是对称的: 第三十八页，共七十三页，2022年，8月28日 Metropolis Monte Carlo方法的算法： 给出一个初始状态，并计算系统的能量Eold 随机产生一个新状态，并计算新系统的能量Enew 如果ΔE＝(Enew?Eold)<0, 则接受新状态并回到 b) 如果ΔE＝(Enew?Eold)>0, 则计算Boltzman因子： 在(0, 1)区间上产生一个均匀分布的随机数? ； 如果 则接受新状态并回到b) 否则保留原值并回到b) 第三十九页，共七十三页，2022年，8月28日 1. 正则系综蒙特卡罗模拟方法(Canonical MC Simulation) 具有确定的粒子数N、温度T和体积V 第四十页，共七十三页，2022年，8月28日 对于含N个粒子的系统，位型（构型）的配分函数： 某个特定构型的发生概率为 PNVT(rN) 1. 正则系综蒙特卡罗模拟方法(Canonical MC Simulation) 第四十一页，共七十三页，2022年，8月28日 Monte Carlo模拟中任一物理量的计算： 位型积分 概率密度 系统处于位型{rN}的概率密度 第四十二页，共七十三页，2022年，8月28日 给出一个初始状态，并计算系统的能量Uold 随机产生一个新状态，并计算新系统的能量Unew 如果ΔU＝(Unew?Uold)<0, 则接受新状态并回到 b) 如果ΔU＝(Unew?Uold)>0, 则计算Bo