数值分析曲线拟合与线性最小二乘问题市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件.pptx

曲线拟合与线性最小二乘;§1 线性最小二乘问题;称为 残向量;; 所谓“曲线拟合”，是指依据给定数据表，寻找一个 简单表示式来“拟合”该组数据，此处“拟合”含义 为：不要求该表示式对应近似曲线完全经过全部数 据点，只要求该近似曲线能够反应数据基本改变趋势。;引例1：考查某种纤维强度与其拉伸倍数关系. 下表是实际测定24个纤维样品强度与对应 拉伸倍数数据统计:;能够看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加;怎样确定a,b,使得直线能很好地反应所给数据基 本“改变趋势”?;这种求线性函数y=a+bx过程称为线性拟合。;普通地，设 近似函数为;?非线性拟合;又如：若非线性函数取为;三、最小二乘问题解存在性、唯一性;?不妨假设 前 列 线性无关 ;(满秩分解);二乘解充要条件是 为方程组 解。;必要性;;推论7.1.2 若 ，则方程组;;例1：求以下方程组最小二乘解;解：;写出法方程组; §2 广义逆矩阵与最小二乘解 /*Generalized Inverse Matrix and Least Squares Solution */;设 ，则方程组（P1–P4)有唯一解，且解为 。;若 ，则Penrose方程变为;二、广义逆分类;§3 正交化方法 /*Orthogonalization Method*/;Gram-Schmidt正交化方法：;Step1 令;;二、改进Gram-Schmidt正交化方法：;则（*）式第2式至第n式化为;记;记;经过r步后得到;?MGS算法：;例3：用MGS方法求以下 矩阵正交分解;Step2;?上述情况下极小最小二乘解求法：;例4：用MGS方法求以下 方程组极小最小二乘解.;三、正交分解和线性方程组最小二乘解;令;;设 ，且 ，且;其中 为方程组 唯一解；;证实： ;?;?普通情况下极小最小二乘解求法：;四、Householder变换与Givens变换;;?设 ，且 ，则存在H-矩阵 ，;?H-矩阵计算;;?H-矩阵在正交分解中应用;?详细步骤：;;经过r步后得到：;例5：用Householder变换求 以下方程组极小最小二乘解;Step2;;方程组极小最小二乘解求法同例4;2、Givens变换（平面旋转变换）:;;令;;例6：用Givens旋转变换求 以下方程组极小最小二乘解;;Step2;Step3;;Step4;Step5;;曲线拟合与线性最小二乘;§1 线性最小二乘问题;称为 残向量;; 所谓“曲线拟合”，是指依据给定数据表，寻找一个 简单表示式来“拟合”该组数据，此处“拟合”含义 为：不要求该表示式对应近似曲线完全经过全部数 据点，只要求该近似曲线能够反应数据基本改变趋势。;引例1：考查某种纤维强度与其拉伸倍数关系. 下表是实际测定24个纤维样品强度与对应 拉伸倍数数据统计:;能够看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加;怎样确定a,b,使得直线能很好地反应所给数据基 本“改变趋势”?;这种求线性函数y=a+bx过程称为线性拟合。;普通地，设 近似函数为;?非线性拟合;又如：若非线性函数取为;三、最小二乘问题解存在性、唯一性;?不妨假设 前 列 线性无关 ;(满秩分解);二乘解充要条件是 为方程组 解。;必要性;;推论7.1.2 若 ，则方程组;;例1：求以下方程组最小二乘解;解：;写出法方程组; §2 广义逆矩阵与最小二乘解 /*Generalized Inverse Matrix and Least Squares Solution */;设 ，则方程组（P1–P4)有唯一解，且解为 。;若 ，则Penrose方程变为;二、广义逆分类;§3 正交化方法 /*Orthogonalization Method*/;Gram-Schmidt正交化方法：;Step1 令;;二、改进Gram-Schmidt正交化方法：