微专题02 三角函数的范围与最值（解析版）.docx

微专题02 三角函数的范围与最值 【秒杀总结】 一、三角函数中的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为周期加半周期的整数倍，即； 4、在区间内单调且 5、在区间内不单调内至少有一条对称轴， 6、在区间内没有零点且 7、在区间内有个零点． 二、三角形范围与最值问题 1、坐标法：把动点转为为轨迹方程 2、几何法 3、引入角度，将边转化为角的关系 4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解． 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（????） A．16 B．24 C．25 D．36 【答案】A 【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值． 故选：A． 例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（????） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【解析】由题意，是的一条对称轴，所以，即① 又，所以② 由①②，得， 又在区间上有最小值无最大值，所以 即，解得，要求最大，结合选项，先检验 当时，由①得，即，又 所以，此时，当时，， 当即时，取最小值，无最大值，满足题意. 故选：C 例3．（2023·高一课时练习）如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则 A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【答案】B 【解析】依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为. ，所以，所以，当时，有最小值为.故选B. 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，令， 由， 得 ，所以 由题意可知，存在，使得， 只需要，即，所以，， 所以的最大值为. 故选: D. 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 求导 由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增， 且，，故在内必有唯一零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 令，解得或2，可作出函数的图像， 令，即，在之间解得或或， 作出图像如下图 数形结合可得：， 故选：A 例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，函数在上单调递增， 所以，解得：， 由于，所以，解得：① 又因为函数在上恒成立， 所以，解得：， 由于，所以，解得：② 又因为，当时，由①②可知：，解得； 当时，由①②可知：，解得. 所以的取值范围为. 故选：B. 例7．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，， 故题干条件可化为，由余弦定理得， 故，又由正弦定理化简得： ， 整理得，故或（舍去），得 为锐角三角形，故，解得，故 故选：C 例8．（2023·上海·高三专题练习）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于，如下图所示： 为的重心，为中点且， ，，； 在中，； 在中，； ，， 即，整理可得：，为锐角； 设为钝角，则，，， ，，解得：， ，， 由余弦定理得：， 又为锐角，，即的取值范围为. 故选：C. 例9．（2023·全国·高三专题练习）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（????） A．(1，9] B．(3，9] C．(5，9] D．(7，9] 【答案】D 【解析】因为， 由正弦定理可得， 则有， 由的内角为锐角， 可得， ， 由余弦定理可得 因此有 故选：D. 例10．（2023·上海·高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形为亲水木平台区域（四边形是矩形，A，D分别为的中点，米），