离散数学课件(第5章).pptx

《离散数学》教案; 本篇用代数方法来研究数学结构，故又叫代数结构，它将用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。 代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多分支中，它对程序理论，数据结构，编码理论的研究和逻辑电路的设计已具有理论和实践的指导意义 本篇讨论一些典型的代数系统及其性质。;第五章：代数结构;第五章：代数结构;第五章：代数结构;第五章：代数结构;; 称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=?0,1,2,3,4,5,6?中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么4+72=6可解释为：星期四再过两天后是星期六；4+75=2可解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意义的一种解释。 ;第五章：代数结构;表5.1; 3 代数系统 【 定义5.1.2】 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算?1,?2,…,?k所组成的系统称为一个代数系统，记作<A,?1,?2,…,?k>。 根据定义，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素，缺一不可。 【例5.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。 【例5.4】设R-?0?是全体非零实数集合，*是R-?0?上二元运算，定义为：?a,b? R-?0?，a*b=b。则<R-?0?,*>是代数系统。;; 实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律；矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律。 【例5.5】设*是非空集合A上的二元运算，定义为：?a,b?A，a?b=b。证明运算*是可结合的。 证明：对于任意的a,b,c?A， 有(a?b)?c=c，而a?(b?c)=a?c=c，故有(a?b)?c=a?(b?c)，即运算?是可结合的。 当二元运算*在A上适合结合律时，在只有该运算符的表达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将(x*y)*z =x*(y*z)常写成x*y*z。这样，可以令 ; 当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an?a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am?an= am+n ⑵(am)n= amn 3.分配律 【定义5.2.3】 设*和°是非空集合A上的两个二元运算，如果对于任意a,b,c?A，有 a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律) (b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律) 则称运算*对运算°是可分配的。也称运算*对运算°满足分配律。 ; 【例5.6】设A=?0,1?，*和°都是A上的二元运算，定义为： 0?0=1*1=0，0*1=1*0=1 0°0=0°1=1°0=0，1°1=1 则容易验证°对于运算*是可分配的，但*对于运算°是不可分配的。如1*(0°1)=1≠0=(1*0)°(1*1) 【定理5.2.1】设*和°是非空集合A上的两个二元运算，*是可交换的。如果*对于运算°满足左分配律或右分配律，则运算*对于运算°是可分配的。 证明：设*对于运算°满足左分配律，且?是可交换的，则对于任意a,b,c?A，有 (b°c)?a=a?(b°c)=(a?b)°(a?c)=(b?a)°(c?a) 即 (b°c)?a=(b?a)°(c?a) 故?对于运算°是可分配的。 同理可证另一半。;4.吸收律 【定义5.2.4】 设*和°是非空集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意a,b?A，有 a*(a°b)=a ；a°(a*b)=a 则称运算?和运算°满足吸收律。 【例5.7】设N为自然数集合，*和°是集合N上的二元运算，定