多元统计分析多元统计分析 (45).ppt

应用多元统计分析第八章、因子分析第3讲、正交因子模型中各个量的统计意义 1. 因子载荷的统计意义 由正交因子模型(8.2.1)可推得COV(X,F)=E[(X-EX)(F-EF)′] =E［(X-μ)F′］=E［(AF+ε)F′］ =AE(FF′)+E(εF′)= A, (8.2.4)这时因子载荷aij就是第i个变量与第j个公共因子的相关系数.可知Xi与Fj的协方差 Cov(Xi ,Fj)= aij如果变量Xi是标准化变量(即E(Xi)=0,Var(Xi)=1), 则 2. 变量共同度的统计意义 因子载荷矩阵A中各行元素的平方和记为hi2 称为变量Xi的共同度.为了给出hi2的统计意义 , 下面来计算Xi方差. 显然,若hi2大,σ2i 必小.而hi2大表明Xi对公因子F1,… , Fm的共同依赖程度大.当hi2 =1(设Var(Xi)=1)时,σ2i =0,即Xi能够由公共因子的线性组合表示;当hi2≈0时,表明m个公共因子对Xi 影响很小,Xi主要由特殊因子εi来描述. 可见hi2反映了变量Xi 对公因子F依赖的程度.故称公因子方差hi2为变量Xi的共同度.公因子方差剩余方差 3. 公共因子Fj的方差贡献的统计意义 在因子载荷矩阵A中,求A的各列的平方和,记为qj2，即qj2的统计意义与Xi的共同度h2i恰好相反, qj2表示第j 个公因子Fj 对X的所有分量X1,…,Xp的总影响,称为公共因子Fj对X的贡献(qj2是同一公共因子Fj 对诸变量所提供的方差之总和)，它是衡量公共因子相对重要性的指标 . qj2愈大,表明Fj 对X的贡献愈大.如果我们把A矩阵的各列平方和都计算出来,使相应的贡献有顺序: 我们就能够以此为依据,提炼出最有影响的公共因子. 19 30 2 12 30 57 5 23 2 5 38 47 12 23 47 68试求满足(8.2.3)式的因子载荷阵A(m=2)和特殊因子的协差阵D.Σ=?解: 比如 取A'= 4 7 -1 1 1 2 6 8 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3则协差阵满足：Σ=AA′+D且有 共同度h12 = 42+12=17 Var(ε1 )=2， Var(X1)=19分解式： 19=17+2 即： Var(X1)= h12+Var(ε1 )D= 小结正交因子模型中各个量的统计意义1、 因子载荷2、 变量共同度3、公共因子Fj对X的贡献公因子的相对重要性变量对公因子的依赖程度