第21练　随机变量及其分布.docx

第21练　随机变量及其分布 1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D()＝2.4，P(＝4)<P(＝6)，则p等于(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 答案　B 解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数服从二项分布，即～B(10，p)， 所以D()＝10p(1－p)＝2.4， 所以p＝0.4或0.6. 又因为P(＝4)<P(＝6)， 所以Ceq \o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq \o\al(6,10)p6(1－p)4， 所以p>0.5， 所以p＝0.6. 2．(2019·浙江)设0<a<1，则随机变量的分布列是 0 a 1 P eq \f(1,3) eq \f(1,3) eq \f(1,3) 则当a在(0,1)内增大时，(　　) A．D()增大 B．D()减小 C．D()先增大后减小 D．D()先减小后增大 答案　D 解析　由题意可知，E()＝eq \f(1,3)(a＋1)， 所以D()＝eq \f(?a＋1?2,27)＋eq \f(?1－2a?2,27)＋eq \f(?a－2?2,27)＝eq \f(6a2－6a＋6,27)＝eq \f(2,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))， 所以当a在(0,1)内增大时，D()先减小后增大． 3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案　D 解析　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误． 4．(2018·浙江)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P eq \f(1－p,2) eq \f(1,2) eq \f(p,2) 则当p在(0,1)内增大时，(　　) A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 答案　D 解析　由题意知E(ξ)＝0×eq \f(1－p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(p,2)＝p＋eq \f(1,2)， D(ξ)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(1－p,2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))))2×eq \f(p,2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2×eq \f(1－p,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))2×eq \f(p,2) ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2－eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－p))2 ＝eq \f(1,