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常微分方程精品讲义 本章学习要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法.难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法法，用微分方程解决一些简单的实际问题. 一、微分方程的基本概念 二、分离变量法 第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数． 常微分方程． 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程． 一、微分方程的基本概念 微分方程的解： 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解． , 定义1 （线性相关，线性无关） 二、分离变量法 思考题 第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 一、一阶线性微分方程 二、可降阶的高阶微分方程 一、一阶线性微分方程 二、可降阶的高阶微分方程  第三节 微分方程的应用举例 一、微分方程在几何上的应用．二、微分方程在经济数量分析中的应用． 一、微分方程在几何上的应用例1 求过点（1，3）且切线斜率为 2x的曲线方程．解 设所求的曲线方程是y =y (x)则依题意有满足下面的关系： 其中y (1)=3 表示 x=1 时y的值为3 要求出满足第一式的函数，只需求一次不定积分即可．显然，这种函数的一般形式是（C为任意常数） 这是一簇曲线，曲线簇中每一条曲线在点x处的斜率均为2x．如果将已知条件第二式代入上式， 求出 则就是所求过点（1,3）且切线斜率为2x的曲线方程 二、微分方程在经济数量分析中的应用例2 某种商品的需求量Q 对价格P 的弹性为1.5P.已知该商品的最大需求量为800(即P=0时,Q=800) ,求需求量Q与价格P的函数关系． 例3 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化率 与常数 A和纯利润L之差成正比，当x=0时，L=L0,试求纯 利润L与广告费x之间的函数关系． 解 由题意列出方程分离变量 两边积分得