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易 湃
高中联赛难度数论100 题
+ ( 2 2 ) ( 3) 2 2
第一题、已知a、b ∈ Z ，a + 3ab + 3b − 1 | a + b ，证明：a + 3ab + 3b − 1可
被某个大于1的完全立方数整除。
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+ ( ) ( ) 2
第二题、已知a、b 、c、d ∈ Z ，ab |cd ， c + d | a + b ，且d ≥ c − c，求证：
{a，b} = {c，d} 。
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第三题、对于四个不同的正整数组成的集合A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} ，定义SA = a1 +
a + a + a 。并设恰好有n 对(i ，j)，1 ≤ i＜j ≤ 4 ，使得(a + a ) |S 。求所有的集合A ，
2 3 4 A i j A
使得nA 达到最大值。
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第四题、给定正整数k ≥ 2，求所有的正整数n，使得存在正整数a1 、a2 、… 、ak ，满
足∏k (ai + n) |∑k ai 2 。
i=1 i=1
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2
2 4a
第五题、已知a、b为两个正整数，证明：整数a + ⌈ b ⌉不为完全平方数。
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第六题、设n是一个正整数，p是一个素数，证明：如果整数a、b 、c （不必是正的）
满足an + pb = bn + pc = cn + pa ，则：a = b = c 。
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( )n
第七题、求所有正整数对(a， n)，使得a ≥ n ，且 a + 1 + a − 1是一个2的方幂。
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k
第八题、设整数k ≥ 2，若正整数n能被所有小于 n的正整数整除，证明：n的不同素
√
因子的个数不超过2k − 1。
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