高斯函数有关高考压轴题.docx

高斯函数有关高考压轴题 高斯函数有关高考压轴题 高斯函数有关高考压轴题 与高斯函数相关的高考压轴题 董永春 ( 成都戴氏高考取考肖家河总校数学组 , 四川成都， 611000) 高斯函数问题的提出 从前，数学王子高斯在空暇时发现并定义了取整函数，即设  x∈ R，用  [ x] 或  int (x)表 示不超出  x 的最大整数，并用  " x  " 表示  x 的非负纯小数  ,则  y  x  称为高斯函数，也 叫取整函数。 高斯函数 [x]的定义域是 R,值域为 Z,其图象是不连续的水平线段。在初中、高 中数学比赛中常常出现含有取整函数的问题。 笔者在高三复习时发现欧拉常数问题 [1] 在高考 中屡次出现，相同的，高斯函数已浸透到高考，多以信息出此刻压轴题的地点，高斯函数在 数论中也有特别重要的作用。下边从一些考题去领会高斯函数。 2 高斯函数相关的准备 我们只提出本文需要的一些性质  x  x  x ， x  1  x  x  x 1 ， 10n x  10 10n 1 x  表示取  x 的各分位小数。 高斯函数相关问题的解决 例 1 （2012 四川 16）记 [ x] 为不超出实数 x 的最大整数，比如， [2] 2 ， [1.5] 1 ， a ] xn [ [ 0.3] 1。设 a 为正整数，数列 { xn } 知足 x1 a ， xn 1 [ xn ]( n N ) ，现有下 2 列命题： ①当 a 5 时，数列 { xn } 的前 3 项挨次为 5,3,2； ②对数列 { xn } 都存在正整数 k ，当 n k 时总有 xn xk ； ③当 n 1时， xn a 1 ； ④对某个正整数 k ，若 xk 1 xk ，则 xn [ a] 。 此中的真命题有 _① __③ ___④______ 。（写出全部真命题的编号） 剖析：①明显建立，关于②，取 a 3 ， x1 3, x2 1, x3 3, x4 1,...为摇动数列，②错。 xn [ a ] xn a a xn 1 关于③，由题意知 和 xn 都是整数，故 xn 1 [ xn ] xn 2 2 2 a a a xn 1 1 2 xn xn [ ] x n xn 1 a 1，关于④，当 xn 1 xn 时， [ xn ] xn ， 2 2 2 2 xn [ a ] a a a a 进而 [ xn ] xn 0 即 0 xn xn 0 ，即 0 2 xn xn xn xn xn xn xn a 剖析：本题波及了高斯函数的性质 x 1 x x ，借助均值不等式，比较复杂。其实能够 考虑特别值法进行考证。 例 2 （2012 成都三诊 12）设 x 是实数，定义 [ x] 为不大于 x 的最大整数，如 2.3 2， 2.3 3 ，已知函数 1 2 x 1, 1 x 0 f ( x) 3x 1 ， g (x) 1) 2,0 x 。若方程 2 g( x 3 f ( x) 2x 0 的解集为 M ，方程 g (x) 2x 0 的解集为 N ，则会合 M N 中的全部元 素之和为 ( A) 1 ( B)0 (C)1 (D)2 剖析： 3x 1 1 2x 0 3x 3x 1 2x 1 3x 1 3 x 1 ， 2 2 2 2 7 3x 1 1 ， 3x 1 1, 2, 3, 4 ，若 2x 1 1 x 1 （舍）；若 2 2 2 4 2 x 1 2 x 3 ，；若 2x 1 3 x 5 ；若 2x 1 4 x 7 （舍）； 2 4 2 4 2 4 知 M 3 , 5 ，数形联合知 N 0,1,2 因此答案为 C。 4 4 评论：本题波及了比赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的办理方法是利用性质 x 1 x x 很重点 例 3（ 2008 湖南 10,2010 南充二诊 12）设 [ x] 表示不超出 x 的最大整数，（如 [2] 2 ， 5 1 ）, 4 关于给定的 n N * ，定义 C nx n( n 1)...( n x 1) ， x [1, ) ，则当 x [ 3 ,3) 时， x( x 1)...( x x 1) 2 函数 C8x 的值域是 ( A)[ 16 ,28] ( B)[ 16 ,56) (C)(4, 16] ( 28,28] ( D )(4, 28] [28,56) 3 3 3 3 3 剖析： x 3 , 2 时， x 1， C8x 8 为减函数，知 C8x 4,16 ； x 2,3 ， x 2 ， 2 x 3 C8x 8 7 为减函数，知 C8x 28, 28 ，选 C x (x 1) 3 评论