2015考研数学（二）真题.doc

2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码：302） （考试时间：上午8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）下列反常积分中收敛的是 （A）． （B）． （C）． （D）． （2）函数在内 （A）连续． （B）有可去间断点． （C）有跳跃间断点． （D）有无穷间断点． （3）设函数，若在处连续，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （4）设函数在内连续，其2阶导数 的图形如右图所示，则曲线 的拐点的个数为 （A）0． （B） 1． （C）2． （D）3． （5）设函数满足则与依次是 （A）． （B）． (C) ． (D) ． （6）设是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域， 函数在上连续，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （7）设矩阵，若集合，则线性方程组 有无穷多解的充分必要条件为 （A）． （B）． （C）． （D）． （8）设二次型在正交变换下的标准形为，其中 ．若，则二次型在正交变换 下的标准形为 （A）． （B）． （C）． （D）． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）则 ． （10）函数在处的阶导数 ． （11）设连续，，若，则 ． （12）设函数是微分方程的解，且在处取得极值3， 则 ． （13）若函数由方程确定，则 ． （14）若3阶矩阵的特征值，,其中为3阶单位矩阵，则行列 式 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 设函数，若与在时 是等价无穷小，求的值. （16）（本题满分10分） 设是由曲线段及直线所围成的平面区 域，分别表示绕轴与绕旋转成旋转体的体积，若，求的值. （17）（本题满分11分） 已知函数满足 ， 求的极值. （18）（本题满分10分） 计算二重积分. （19）（本题满分11分） 已知函数，求零点的个数. （20）(本题满分10分) 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？ （21）（本题满分10分） 已知函数在区间上具有2阶导数，，设 ，曲线在点处的切线与轴的交点是， 证明. （22）（本题满分11分） 设矩阵． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若矩阵为阶单位矩阵，求． （23）（本题满分11分） 设矩阵相似于矩阵， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求可逆矩阵,使为对角阵.