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2015年考研数学（一）试题答案速查 一、选择题 （1）C （2）A （3）B （4）B （5）D （6）A （7）C （8）D 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）. （16）. （17）. （18）（Ⅰ）略. （Ⅱ） （19）. （20）（Ⅰ）略.（Ⅱ）,,. （21）（Ⅰ）. （Ⅱ）. （22）（Ⅰ）. （Ⅱ）. （23）（Ⅰ），其中.（Ⅱ）. 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】C． 【解答】拐点出现在二阶导数等于0或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点，故选C． （2）【答案】A． 【解答】由为二阶常系数齐次微分方程的解，所以 2和1为特征方程的根，从而． 则方程可以变为，再将特解带入得，故选A． （3）【答案】B． 【解答】因级数条件收敛，故的收敛半径为1，收敛区间为． 而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间为． 故与依次为幂级数的收敛点、发散点．故选B． （4）【答案】B． 【解答】如图，利用极坐标，对于积分区域，，再由 ，解得； ，解得； 故可得答案B． （5）【答案】D． 【解答】 由得，故选D． （6）【答案】A． 【解答】由题意知，又 ,故选择A． （7）【答案】C. 【解答】由于，所以，故 ，因此选C． （8）【答案】D． 【解答】 ． 由，得，故选D． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】. 【解答】． （10）【答案】. 【解答】. （11）【答案】. 【解答】，则 ． 当时得， 所以，，故. （12）【答案】. 【解答】根据坐标的轮换对称性可得： ，其中为平面切割空间区域所得的截面，其面积为，所以 . （13）【答案】. 【解答】按第一行展开得递推关系． 所以 ，．．．，依次类推，可得 ． （14）【答案】. 【解答】由已知可得,且相互独立，故 . 三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限．而， 原式 ． 要使得该极限值为1，必有，所以． （16）（本题满分10分） 解：设在点的切线方程为． 令，得由条件知， 可得,.又,有，因此. （17）（本题满分10分） 解：函数沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模． 因为，故，模为． 则，此题目转化成在约束条件下函数的最大值． 不妨设，约束条件． 作拉格朗日函数 令 ，解得． 从而，所以最大值为3． （18）（本题满分10分） 解：（Ⅰ） （Ⅱ）由题意知 （19）（本题满分10分） 解：由题意设参数方程参数的起点为，终点为． 则， ． （20）(本题满分11分) 解：（Ⅰ）因为， 所以 ， 因为 ， 所以，向量组与向量组等价． 因为，向量组为的一个基，故，向量组是的一个基. （Ⅱ）不妨设 即．再由 ，得 ① 欲使存在非向量，则方程①有非零解． 即，系数行列式，得出． 此时方程①变为． 又因为向量组为的一个基，则有． 所以，，其中． 故，当时，，其中即为所求． （21）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为相似，所以且，即 联合①②两式，解得． （Ⅱ）因为相似，所以 ， 得矩阵的特征值为（二重），. 当时，解方程组，得基础解系为， 当时，解方程组，得基础解系为． 令可逆矩阵,使得． （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）记为观测值大于的概率，则． 从而的概率分布， （Ⅱ）. 记，则 ， 故 . （23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）由，解得． 所以的矩估计量为，其中. （Ⅱ）设为样本观测值，则似然函数. 当时，，可得， 所以，，关于单调增加． 故的最大似然估计量.