垂径定理 教学课件.ppt

1 掌握垂径定理及其推论，并能应用它们解决一些计算题和证明题. 理解圆的轴对称性； 2 学习目标 实践探究 　 把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 已知：CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C、D以外的任意一点. 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴. 分析：要证圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上. 证明：过点A作AA⊥CD交⊙O于点A，垂足为M，连接OA、OA. 在△OAA1中 ∵OA=OA ∴△OAA是 __________ 又∵AA⊥CD ∴AM= _______ ( ) ∴CD是AA的 _____________ . 即对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A ∴⊙O关于直线CD对称 即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴. 等腰三角形 MA 三线合 一 垂直平分线 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点． · O A B C D E 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合． 因此 AE=BE　 即 直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ O B C D · A E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧． 归纳 条件 结论 换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧． 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧 ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. · O A B C D E 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 由① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ③AE = BE ⌒ ⌒ ④AC = BC ⌒ ⌒ ⑤AD = BD ③AE = BE 由①CD是直径 可推得 ②CD⊥AB ⌒ ⌒ ⑤AD = BD ⌒ ⌒ ④AC = BC 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 不是 是 不是 O E D C A B 垂径定理的几个基本图形。 CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE AC= BC AD= BD 1. 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。 解：连结OA，作OE⊥AB于点E， 则OE＝3厘米，AE＝BE. ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 · O A B E 练习 2. 如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，且AE=BE OE=6，AB=16，求⊙O的半径 · O A B C D E 练一练： 例题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 37m 7.23m A B O C D 解得：R≈27．3（m） 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.52+（R－7.23）2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. OA2 = AD2 + OD2 OD = OC－CD = R－7.23 在图中 AB=37，CD=7.23， B O D A R C 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高． AB （ AB （ AB （ 3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 提高练习 4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，