第14讲 染色与操作.含答案.5年级数学.尖子班.暑期.教师版.doc

五年级 教师版 PAGE 1 染色与操作第十四讲 染色与操作 第十四讲 数列 最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题。解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧。 解决该类题目时，通常使用到数论，尤其是奇偶性等知识。 例题精讲 例题精讲 （超常班）如图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达到，为什么？ 【分析】采用染色法。 如图，共有个展览室，对这个展览室，黑白相间地进行染色； 从白室出发走过第扇门必至黑室， 再由黑室走过第扇门至白室， 由于不重复地走遍每一间展览室， 因此将走过黑白相间的个展览室， 再回到白室，共走过扇门。 由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。 现在，走过扇门，必至黑室， 所以无法回到原来的白室。 （超常班）有一次车展共个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？ 【分析】如图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。 由于入口处和出口处都是白格， 而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多个， 而实际上白格、黑格都是个， 故不可能做到不重复走遍每个展室。 （超常班）如图是某套房子的平面图，共个房间，每相邻两房间都有门相通。请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？ 【分析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现有个白格，个黑格。 因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑格，路线必然黑白相间， 这样白格数目与黑格数目之差最多为才能不重复， 但图中黑格比白格多个，所以无法实现不重复走遍。 （超常班）一只电动老鼠从下图的点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到点时，甲说它共转了次弯，乙说它共转了次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？ 【分析】如图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯， 所以经过多少个格点就转了多少次弯。 老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确。 （超常班、超常班、超常班、超常班）如图，把正方体分割成个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？ 【分析】如图所示，将正方体涂上黑、白相间的两种颜色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。 在个小正方体中，个是黑的，个是白的； 甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色； 故它走步，应该经过个白色的小正方体、个黑色的小正方体； 因此在步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次； 由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次；那么甲虫不能走遍所有的小正方体。 （超常班）用个字形纸片和个字形纸片，能否覆盖一个的棋盘？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。 【分析】如图所示，对的正方形黑白相间染色后； 必然盖住白黑；则盖住了白黑或黑白，从奇偶性考虑，都是奇数， 而这种形状共个，奇数个奇数相加仍为奇数， 故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数， 加上另一种形状的白黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格； 但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住。 （超常班）用个和个能否盖住的大正方形？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。 【分析】如图所示，对的正方形黑白相间染色后； 必然盖住白黑，个则盖住白黑； 则盖住了白黑或黑白，从奇偶性考虑，都是奇数； 而这种形状共个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数， 加上另一种形状的白黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格； 但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住。 （超常班、超常班）图 中有个由个的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这个硬纸板拼成图中的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。 【分析】如图所示，对的正方形黑白相间染色后； 、、、各盖住白黑， 盖住白黑或黑白； 这个硬纸板共能盖住白黑或黑白； 但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住。 （超常班、超常班、超常班、超常班）用个的长方形能不能拼成一个的正方形？请说明理由。 【分析】本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。 因为要用来覆盖，我们对正方形用四种颜色染色。 为了方便起见，这里用、、、分别代表四种颜色。 为了使每个长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如图所示。 这样，可以发现无论将长方形放于何处，盖住的必然是、、、各一个。 要不重叠地拼