中考数学压轴题二.docx

2019-2020 年中考数学压轴题精选二 1、如图，在菱形 ABCD 中， AB=2 ，∠ A=60°，以点 D 为圆心的⊙D 与边 AB 相切于点 E． ( 1)求证：⊙D 与边 BC 也相切； (2)设⊙D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，求图中 阴影部分的面积(结果保留 π )； (3)⊙D 上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当 S △HDF= S △MDF 时，求动点 M 经过的弧长(结果保留 π )． 思路点拨 ： ( 1)过 D 作 DQ⊥BC 于 Q，连接 DE ，根据切线性质得出⊥ AB，根据菱形性质求出 BD 平分∠ ABC，根据角平分线性质得出 DE=DQ ，根据切线判定推出即可； ( 2)根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形 ADB，求出 DE 值，即可得出圆 的半径长，得出等边三角形 DCB 和等边三角形 DHF，求出△ DFH 的高 FN，求出△ DFH 的面积和扇形 FDH 的面积，相减即可得出答案； ( 3)根据△ FDH 的面积和已知求出△ MDF 边 DF 上的高 MZ，求出∠ MDF，同理得出另 一点 M′也符合，且圆心角是 150 °，根据弧长公式求出即可． ( 1)证明： 满分解答 ： 过 D 作 DQ⊥BC 于 Q，连接 DE， ∵⊙D 切 AB 于 E， ∴DE⊥AB， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ ABC， ∴DE=DQ (角平分线性质) ， ∵DQ⊥BC， ∴⊙D 与边 BC 也相切； ( 2)解：过 F 作 FN⊥DH 于 N， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD=AB=2 ， ∵∠ A=60 °， ∴△ ABD 是等边三角形， ∴∠ DBA=60 °， DC∥AB， AD=BD=AB=2 ∵DE⊥AB， ∴AE=BE= ， 由勾股定理得： DE=3=DH=DF ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ C= ∠A=60°， DC=BC ， ∴△ DCB 是等边三角形， ∴∠ CDB=60 °， ∵DF=DH， ∴△ DFH 是等边三角形， ∵ FN⊥DH，∴DN=NH=， 由勾股定理得： FN= ， ∴S 阴影 =S 扇形 FDH ﹣ S △FDH= ﹣× 3 × = π﹣ ； ( 3)解：过 M 作MZ⊥DF 于 Z， △HDF又∵S = S ，∵由( 2)知： S = ×3 △HDF 又∵S = S ， △HDF △DFM ∴ = ×× 3 ×MZ， ∴MZ=， 在 Rt△DMZ 中， sin ∠MDZ= =， ∴∠ MDZ=30 °， 同理还有另一点 M′也符合，此时 MM′∥CD，∠ M′DC=180 °﹣ 30 °=150 °， ∴弧 MC 的长是 = π ； 弧 CM′的长是 = π ； 答：动点 M 经过的弧长 π 或 π ． 是 本题考查的知识点是三角形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性 点评： 质，扇形的面积，锐角三角函数的定义，弧长公式等，主要考查学生综合运用性质进 行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大． 2、如图 1，抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 经过 A( － 1,0) 、B(3, 0) 、C(0 ,3) 三点，直线 l 是抛物线的对 称轴． ( 1)求抛物线的函数关系式； (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△ PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； (3)在直线 l 上是否存在点M，使△ MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条 件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 思路点拨 1．第( 2)题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时△ PAC 的周长最小． 2．第( 3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 ( 1)因为抛物线与 x 轴交于 A( －1,0) 、 B(3, 0) 两点，设 y ＝ a ( x＋ 1)( x－ 3) ， 代入点 C (0 ,3) ，得－ 3 a ＝ 3．解得 a ＝－ 1． 所以抛物线的函数关系式是 y ＝－ ( x＋ 1)( x－ 3) ＝－ x2 ＋ 2x＋ 3． ( 2)如图 2 ，抛物线的对称轴是直线 x＝ 1． 当点 P 落在线段 BC 上时， PA ＋ PC 最