将军饮马问题拓展.pdfVIP

“将军饮马问题”的探究与启示 【摘要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题，是较多学生解题的“障碍”问 题，现通过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题”，利用“两点之间线段最短”加以证明，同时 对数学教育工作者提出了启示。 【关键词】轴对称 最小值 问题探究 问题启示 【正文】 一、问题再现 基本问题：人教版八年级数学上册 P 有一道探究题，源于古希腊着名的“将军饮马问题”，大数学家 42 海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。课文原题如下：如图 1，要在燃气管道 l 上修建一个泵站， 分别向 A，B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 课本给出了如下的作图及证明方法： 如图 2，作B 关于直线 l 的对称点B′，连结 AB′与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求的位置. 证明：如图 3，在直线 l 上另取任一点 C′，连结 A C′，B C′， B′C′，因为直线 l 是点 B，B′的 l 对称轴，点 C，C′在 上，∴CB=CB′， C′B= C′B′，∴AC+CB=AC+C B′=A B′ . 在△A C′B′中，∵A B ′＜A C′+ C′B′，∴AC+CB＜A C′+ C′B′即 AC+CB 最小. 反思：本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把 A，B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而 可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中 C 在 A B ′与 l 的 交点上，即 A、C 、B ′三点共线）。本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小 值”的问题的数学模型。 二、问题探讨 1、在三角形（或四边形）中的运用：已知正方形 ABCD 的边长为 8，M在 DC上，且 DM=2，N是 AC 上的一动点。则 DN+MN 的最小值为多少？ 分析：要求 DN+MN 的最小值，联想“将军饮马问题”，作点 M 关于 AC 的对称点 E，且易知点 E应该在线段 BC上，这样 MN=NE，那么题目就 转化成求 DN+NE 的最小值了，由于点N在 AC上移动且 D、N、E可能构成 一个三角形，因为“两点之间线段最短”，所以，当点 N 移动到 DE 与 AC 交点处，即点 D、N、E共线时，DN+NE=DE=10，达到最小值。 反思：若引导学生把题中的 D、M 看着是基本问题中的 A、B 两点，把 AC l 看着是基本问题中的燃气管道 ，本问题即为基本问题，学生可通过基本问题的联想和迁移解决本问题。 x A，B 2、在平面直角坐标系中的运用：（2009年济南）已知：抛物线的对称轴为X=－1，与 轴交于 两     y C， A 3，0 C 0，2 ． 点，与 轴交于点 其中 、 （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P 的 坐标． （3）若点D是线段 OC上的一个动点（不与点 O、点 C重合）．过点 D作 DE∥PC x E． PD PE CD m △PDE S S m 交 轴于点 连接 、 ．设 的长为 ， 的面积为 ．求 与 之间的函 S 数关系式．试说明 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。 2 4 分析：（本题只对第2 问作详细分析）（1）抛物线的解析式为y x  x22 . （2）连结AC、BC.