第4讲截长补短.docx

第2讲截长补短 1.在 ABC 中，AB AC.求证：/ B Z C B D C B D C 1.证明：在 AB 1.证明：在 AB上截取AE=AC 在厶ADC与厶ADE中 AC - AE ■J L CAD 二-EAD AD -AD ???△ADC ◎△ ADE ( SAS ) ???/ AED = Z C ???/ AED是厶BED的外角， ? / AED Z B，即/ B Z C. 2 .如图所示，已知△ ABC中AB AC , AD是/ BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证： MB -MC -MC AB - AC . B B C 【思路点拨】 因为AB AC ,所以可在AB上截取线段AE = AC ,这时BE = AB - AC ,如果连接 〔“，在厶BME中，显然有 MB - ME BE .这表明只要证明 ME = MC,则结论成立. 【答案与解析】 2证明：T AB AC ,则在 AB上截取 AE = AC ,连接ME . 在厶MBE中，MB - ME 在厶MBE中， 在厶AMC和厶AME中， tgr AC 一 AE（所作）， CAM 一 EAM （角平分线的定义 ）, AM -AM （公共边）， △ AMC AME （ SAS ）. MC = ME （全等三角形的对应边相 等）.又 T BE = AB - AE , BE = AB - AC , MB - MC AB - AC . 【总结升华】 充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键 如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC平分/ BAD , AB AD ,下列结论正确的是 ( A.AB - AD CB - CD B.AB - AD=CB - CD C.AB - AD v CB- CD 3 A D.AB - AD 与CB - CD的大小关系不确定 A 如图，DC // AB , Z BAD和/ ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交 DC、 AB于C、B两点.求证：AD=AB+DC. 丄——- 证明：在 BC上截取BE=BA，连接DE I v BD 平分Z ABC , ??? Z ABD= Z EBD , 可证△ ABD EBD, {— Z DEB= Z A=108 ° , Z DEC=72 ° , v AB=AC, Z A=108 ° , Z ABC= Z C=36 ° , Z EDC= Z DEC=72 ° , EC=DC , v BC=BE+CE , BC=AB+CD. 在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全 等三角形的解决思路，如：在图 1 中，若 C 是 MON 的平分线 OP 上一点，点 A 在 OM 上，此时，在 ON 上截取 OB=OA ，连接 BC ，根据三角形全等判定（ SAS ）， 容易构造出全等三角形 OBC 和 OAC ，参考上面的方法，解答下列问题： 如图 2，在非等边 ABC 中， B 60 ， AD ，CE 分别是 BAC ， BCA 的平 分线，且 AD , CE交于点F，求证AC=AE+CD 。 证明：如图，在 AC 上截取 AG=AE ，连接 FG ??? AD是 BAC的平分线， CE是 BCA的平分线, 1 2, 3 4 在 AEF 和 AGF 中， 1 2, AF AF, B 60 BAC ACB 120 23 1 ( BAC ACB ) 60 2 AFE 2 3 ， AFE _ CFD _ AFG _ 60 ￥ ■ CFG _180 CFD AFG _ 60 .?.ZCFD 二CFG 在△ CFG 和△ CFD 中 CFG - CFD , FC -FC , 亠 3 4 f4, CFG ~ CFD ( ASA) CG -CD r AC - AG CG AE CD