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实变函数教案 实变函数教案 PAGE 实变函数教案 《实变函数教案》 总48学时 实变函数诞生于上世纪初．（法）Lebesgue 创立Lebesgue积分．Riemann积分的对象是连续函数；Lebesgue积分的对象是可测函数，其应用广泛．测度积分形成后，建立了泛函分析理论．它是现代数学的一门重要课程，应用广泛． 第一章　集　合 §, 集合表示及运算 1．集合概念 集合：具有某种共性的事物的全体,记为 ．空集：；全集：X． 元素：． 如：；　　　　　　B=｛一个班级全体学生｝． 2．包含与相等 是指：；　称A是B的子集． 是指：． 若，称A为B的一个真子集． 关系满足： (1) ； (2) ；(3) ． 3．集合的运算 并集 ；　交集 ；　 若，称A与B不相交； 差集 ；　　余集 ． （画图示．） 集合运算性质： (1) 交换律：； (2) 结合律：； (3)分配律： ； (4) 对偶律：． 4．集族 集族：X为集合，集合A的元素都是X的子集，称A为X的一个集族． ：A中所有元素的并；　　　 　：A中所有元素的交． 幂集：，　X的全体子集构成的集族． 指标集，， 有集族． 并：；　　　 交：． 如 ，得到集列； ， ． 简记 ． 5．集合序列的极限 定义 为一集列，． 上限集：； 下限集：． 关系：． 若， 称收敛． 例1. 令 ， 则 ． 收敛． 例2. 令 ， 则 ， ． 故 发散． 定理 为一集列，则 (1) 有无穷多个含有x； (2) ． 定义 (单调集列) 单增集列：↗；　　 单减集列：↘． 结论： (1) 若↗，则 ；　　　　 (2) 若↘，则 ． 证：(1) ； ． 6．集族的直积 A与B的直积集 ；的直积集． §, 对等于基数 1．映射（对应）概念 映射f：．　 　x――原象， y――象， X――定义域． 满射：；　单射：；一一映射：满射+单射． 恒等映射 ， （一一映射）． 若 ，称f为X上的实（或复）函数． 逆映射： 为一一映射，定义．设， 记 （象）；　 （原象）． 定理1．设， 和 分别是X上和Y上的集族，则， ； ，(*) ． (*)证：记 ，． ， ． 反之，即． 特征函数（示性函数）：． 性质： 设 ，()， 则 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) ； (7) ； (8) 收敛收敛；此时有 ． 2．集合的对等、势 对等：存在一一映射，称A与B对等，记作 或 ． ――集合A的势（基数）． 关系“～”性质： (i) 反身性：； (ii) 对称性：； (iii) 传递性： ，． 3．势的比较 若A与B的一个子集对等，记 ；　若A与B的一个子集对等，但A与B不对等，记 ． 定理 对于集合A， 有 ． 证：若，结论成立． 若，则A与中由A的单点集构成的子集对等，故 ． 下用反证法．假设 ，则存在一一映射． 令 ． 则 ，唯一的 ，使． 矛盾． 故 ． Banach 引理．设，．则 满足 ． 其中 ．　　（证略） 定理 (1) 对于集合A，成立 ；　　　　(2) 若 ，　； (3) 若 ，　 　 (Berstein定理)． 证(3)：由条件，存在单射 及单射．由引理，． 注意到， 均为一一映射，　可令 为 ． 　是一一映射，　得 ． § ; 可数集与不可数集 　　对于集合A，，规定 ； ， ． 以上称A为有限集． 若，称A为可数集（可列集），（元素互异）， 记 ． 不是可数集的无限集称为不可数集． 定理 每一无限集必含有一个可数子集． 证：设A为无限集．取 ． 由于， 可取 ． 由于， 可取 ． 续下去，便得A的可数子集． 推论．可数集的任一子集至多是可数集． 证：设 为无限子集，则 ． 由， ．　故 ． 定理 设 为有限集或可数集)，若 ，则 至多为可数集；又，使 ，则 是可数集．　（可列个可数集之并是可数集）． 证：若 ，结论显然成立．只需证明当 ， 且 时结论成立． 记 ， ， ， ， ． 按对角线法则，有 ．　它是可数集． 定理 若 ，且存在，则 是可数集． （有限个可数集的乘积集是可数集）． 证：只需证明当 时结论成立．利用数学归纳法． 当 时，结论成立．　假设时，结论成立．　取定 ， 记 ， ． 则 ， 由假定为可数集， 故 为可数集． 例1．有理数集Q是可数集． 证：只需证明正有理数集是可数集．　一方面，； 另一方面， ． 而 ， ．　 同理， ． 例2．实数集 R是不可数集． 证：只需证明闭区间是不可数集．用反证法及闭区间套定理． 假设 是可数集．可将三等分，分点为c, d．区间与中至少有一个区间不含，将