上海高三二模分类汇编-平面向量与复数(详解版).docx

二模汇编一一平面向量专题 一、知识梳理 【知识点1】平面向量相关的基本概念 (1 )向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别； 零向量：长度为零的向量叫零向量，记作： 0 ,注意零向量的方向是任意方向; (3 )单位向量：给定一个非零向量a (3 )单位向量：给定一个非零向量 a，与a同向且长度为 1的向量叫a的单位向量，a的单位向量是 (4 )相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； (5 )平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作: a // b，规定零向量和任何向量平行; (6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量， a的相反向量是长度相等方向相反的向量 a . 【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 ①向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一直线上； ①单位向量都相等； ①任一向量与它的相反向量不相等； ①四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 AB = DC ①模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同 【答案】略? 【解析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB、AC在同一直 线上.①不正确.单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定.①不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量 与零向量是相等的.① ①正确.①不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同 . 【点评】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好 【例2】.判断下列命题是否正确，并说明理由: (1 )共线向量一定在同一条直线上 (2 )所有的单位向量都相等. TOC \o "1-5" \h \z 向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线. ( ) 向量a与b共线，则a//b. ( ) 向量 AB//CD，贝U AB//CD. () 平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量 () 【答案】略. 【解析】(1 )错.因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向 量，即共线向量不一定在同一条直线上 . 错.单位向量是指长度等于 1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义 错.注意到零向量与任意向量共线，当 b为零向量时，它不成立. 对.因共线向量又叫平行向量. 错.平行向量与平行直线是两个不同概念， AB、CD也可能是同一条直线上. 错.平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反 【点评】本题考查向量基本概念 .注意零向量的方向是任意方向 【知识点2】平面向量的坐标运算 设 a (Xi, yi),b (X2,y2)，则: 向量的加减法运算：ax, yi y2实数与向量的积： a 向量的加减法运算：a x, yi y2 实数与向量的积： a xi,yi xi, yi 若 A(xi,yi), Bgyz), uuuAB X2 xi,y2 如，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段 的终点坐标减去起点坐标; 平面向量数量积：a b 平面向量数量积：a b = X!X2 y〃2 ； |a| |a|2 r r 2 向量的模：|a| x2 y2, a r uunrruuuruuu _ 【例1】已知a (2,3)，点O为原点，OA 2i j，若AB//a，且| AB | 2,13，求点B的坐标. TOC \o "1-5" \h \z 【答案】(2,5)或(6, 7). uuo r umr r 【解析】由题意得：点 A的坐标为(2, 1)。由AB//a，设AB a (2,3), 因为 |AB| 2、一13，所以(2 )2 (3 )2 52，解得： 2， 当 2时，AB ( 4,6)，所以点B的坐标为(2, 5)； UUU 当 2时，AB (4, 6)，所以点B的坐标为(6, 7)， 综上，点B的坐标为(2,5)或(6, 7). 【点评】向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握 ?已知2 (myjb (X2,y2)则 a b (X1 X2, y1 y2),ab X1 X2 y1 y2 ?若 A(x〔，yd B( X2 , y2 )，则 AB (X2 “y? yj，其坐标形式中 是向量的终点坐标减去起点坐标 【例2】如果将向量a (2,1)围绕原点按逆时针方向旋转丄即得到向量 【例2】如果将向量a (2,1)围绕原点按逆时针方向旋转 丄即得到向量b,那么向量b的坐标为 4 【答案】 2 3.2 2 , 2 【解析】设a与x轴正方向的夹角为 ，则 cos 2 .—,sin 5 r r 又设b与x轴正方向的夹角为 ，则 n n n v10 — cos cos— si