专题20 代数综合类问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）.docx

专题20 代数综合类问题 1．（2021?北京）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，，求该抛物线的对称轴； （2）已知点，，在该抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1）（2）（1），， 点，在抛物线上， 将，代入得： ， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）， 抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时随增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在轴左侧，同理，不满足题意， ，抛物线对称轴在轴右侧，时，时， 即抛物线和轴的2个交点，一个为，另外一个在1和3之间， 抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， 点与对称轴距离， 点与对称轴距离， 点与对称轴距离 ． 解法二：点和点在抛物线上， ，， ， ， 与异号， ， ，， ，，在该抛物线上， ，，， ， ， ， ， ． 2．（2021?安徽）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点，，，都在此抛物线上，且，．比较与的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点、，与抛物线交于点，，求线段与线段的长度之比． 【答案】（1）1（2）见解析（3） 【详解】（1）根据题意可知，抛物线的对称轴为直线：， ． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为：， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，， ，， 结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大， ． （3）联立与，可得，，，， ， 联立与，可得，，，， ， ． 3．（2021?嘉兴）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为0（3）或 【详解】（1）， 顶点坐标为； （2）， 抛物线开口向下， 顶点坐标为， 当时，， 当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，随着的增大而减小， 当时，． 当时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）当时，对进行分类讨论， ①当时，即，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ，解得（不合题意，舍去）， ②当时，顶点的横坐标在取值范围内， ， 当时，在时，， ， ，解得，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ， ，解得，（不合题意，舍去）， ③当时，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ， ，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，或． 4．（2021?泰州）二次函数为常数）图象的顶点在轴右侧． （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为的形式，求的值； （3）若点在该二次函数图象上，且，过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，求的范围． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）根据顶点坐标公式可得， 顶点的横坐标为：， 该二次函数图象的顶点横坐标为； （2）， ， （3）二次函数图象顶点在轴右侧， ， ， 设二次函数图象与轴交点分别为，，在左侧， 令，则， 或， ，， ， 点在该二次函数图象上，且， 在上方， 过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，如图， ， ， ， ． 备注：的范围还可以详述为： 由题意得：， 由得：， 则， 抛物线和的交点在轴的下方， 故， 即当时，都有成立， 故， 故． 5．（2021?杭州）在直角坐标系中，设函数，是常数，． （1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析（3）见解析 【详解】（1）由题意，得， 解得， 所以，该函数表达式为． 并且该函数图象的顶点坐标为． （2）例如，，此时， ， 函数的图象与轴有两个不同的交点． （3）由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以，得证． 6．（2021?温州）已知抛物线经过点． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标． （2）直线交抛物线于点，，为正数．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）把代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线顶点坐标为． （2）把代入得， ， 把代入函数解析式得， 解得或， 为正数， ， 点坐标为，点坐标为． 抛物线开口向上，顶点坐标为， 抛物线顶点在下方， ，． 7．（2021?南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． （1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数，的图