专题17 正切类问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）.docx

专题17 正切类问题 1．（2021?日照）已知：抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值． （3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点． ①求的周长及的值； ②点是轴负半轴上的点，且满足为大于0的常数），求点的坐标． 【答案】（1）（2）当时，取得最大值，此时，，（3）见解析 【详解】：（1）抛物线经过，，， 设，将代入，得， 解得：， ， 抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交直线于点， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，，； （3）①如图2，过点作于点，则， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， ， ， 的周长； 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 整理得，， ，， ，即， 当△，即时， ， 或． 另解：如图4，取线段的中点，作，使，且点在轴下方， ， 连接，，以为圆心，为半径作，交轴于点， 则， ，，， △△， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 或． 2．（2021?盘锦）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）点的坐标为 　　； （2）如图1，点为第一象限抛物线上的一点，的延长线交于点，于点，于点，若，求点的坐标； （3）如图2，点为第一象限抛物线上的一点，且点在射线上方，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，当，且时，求点的运动时间． 【答案】（1）（2）或； （3） 【详解】：（1）在抛物线中， 令，则， 或， ，， 令，则， ， 在直线，令，则， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， 解得， ， 故答案为； （2）如图1，过点作轴于点，过点作轴交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点纵坐标为， ， 或， 或； （3）如图2，过点作于点，轴于点，交于点， 由题意得，， ， ， 在中，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ， 或（舍， 点的运动时间为． 3．（2021?烟台）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．直线经过，两点． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； （3）连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，且满足．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在，，或， 【详解】：（1）由点的坐标知，， ，故点的坐标为， 将点、、的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为； 将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得， 故直线的表达式为； （2）点、关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，当的值最小， 理由：由函数的对称性知，， 则为最小， 当时，，故点， 由点、的坐标知，， 则， 即点的坐标为、的最小值为； （3）存在，理由： 设点的坐标为、点的坐标为， ①当点在点的左侧时， 如图2，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 则，，，， ， 解得（舍去负值）， 当时，， 故点的坐标为，． ②当点在点的右侧时， 分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、， 则，，、， 同理可得：， ， 即， 解得（舍去负值）， 故， 故点的坐标为，， 故点的坐标为，或，． 4．（2021?荆州）已知：直线与轴、轴分别交于，两点，点为直线上一动点，连接，为锐角，在上方以为边作正方形，连接，设． （1）如图1，当点在线段上时，判断与的位置关系，并说明理由； （2）直接写出点的坐标（用含的式子表示）； （3）若，经过点的抛物线顶点为，且有，的面积为，当时，求抛物线的解析式． 【答案】（1）见解析（2）点的坐标为，或，（3）或 【详解】：（1）直线与轴、轴分别交于，两点， 则点、的坐标分别为、， 则， ，， ， ，， ， ，， ， ； （2）①当点在线段上时，如图， 过点作于点， ， ， 故点的坐标为，； ②当点在线段的延长线上时，如图， 同理可得，点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，； （3）①当点线段上时，如题图， 过点作于点， 当时，即， 则， 则， 故， 的面积， 解得①， 抛物线过点，故②， 而③， 联立①②③并解得， 抛物线的表达式为； ②抛物线过点，则，