专题18 定点类问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）.docx

专题18定点类问题 1．（2021?长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“函数” 的图象上的一对“点”，则　　，　　，　　（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数，是常数）是“函数”吗？如果是，指出它有多少对“点”如果不是，请说明理由； （3）若关于的“函数” ，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线，，且，是常数）交于，，，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1），，（2）见解析（3）见解析 【详解】：（1），关于轴对称， ，， 的坐标为， 把代入是关于的“函数”中，得：， 故答案为，，； （2）当时，有， 此时存在关于轴对称的点， 是“函数”，且有无数对“”点， 当时，不存在关于轴对称的点， 不是“函数”； （3）过原点， ， 是“函数”， ， ， 联立直线和抛物线得： ， 即：， ，， 又， 化简得：， ，即， ， 当时，， 直线必过定点． 2．（2021?益阳）已知函数的图象如图所示，点，在第一象限内的函数图象上． （1）若点，也在上述函数图象上，满足． ①当时，求，的值； ②若，设，求的最小值； （2）过点作轴的垂线，垂足为，点关于轴的对称点为，过点作轴的垂线，垂足为，关于直线的对称点为，直线是否与轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】：（1）①，由且时， 由， （负值舍）， 由， ， ②且．， 且， ，， ， 当时，有最小值为， （2）如图，设直线交轴于点，连接， 轴， 轴， ， 点与关于对称， ，， ， ， ， 点，在第一象限内的函数图象上． ，， ， 轴， 点的坐标为，， 点与关于轴对称， 点的坐标为， ，， 在中，由勾股定理得： ， 化简得：， ， ， 直线与轴交于一定点，坐标为． 3．（2020?黄石）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． （1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，连接，为抛物线上一点，且位于线段的上方，过作垂直轴于点，交于点，若，求点坐标； （3）已知点，，且无论取何值，抛物线都经过定点，当时，求抛物线的解析式． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】：（1）把代入， 得． 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图1，设，则， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得， 直线的解析式为， 在直线上， ， 解得， ． （3）由， 当时，，， 无论取何值，抛物线都经过定点， 二次函数的顶点，， ①如图2中，过点作轴于，分别过，作轴，轴的垂线交于点，若时，则， ，，， ，， ， ， ， ， 即， 由图可知，， 解得或4（不合题意舍弃）． ②如图3中，过点作轴于，分别过，作轴，轴的垂线交于点． 若，则， 同理可得，， ， ， 即， 解得（不符合题意舍弃）． ③若，则，重合，不符合题意舍弃， 综上所述，抛物线的解析式为． 4．（2021?南平模拟）将抛物线向下平移4个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线． （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图（2），直线，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【详解】：（1）抛物线向下平移4个单位长度得到抛物线， ； 将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线， ， 即． （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点， ， ， ， ， 由整理得，， 令，由， 得，； 当时，得， ，，； 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值，最大值是． （3）把代入得，，整理得， ， ，， ，； 把代入得，，整理得，， ， ，， ，， 设的解析式为， 则，解得，， 直线的解析式为：， 当时，， 直线经过定点， 直线经过一个定点． 5．（2021?蔡甸区二模）已知抛物线经过点，与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为抛物线上，之间的动点，过点作轴于点，于点，求的最大值； （3）如图2，平移抛物线的顶点到原点，得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，连接，分别交抛物线于另一点，，求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【详解】：（1）由题意得：，解得， 抛物线的表达式为：