人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第1章 章末复习课含答案.docVIP

集合的并、交、补运算 【例1】　已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及?U(A∪B)． [解]　(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,5,6}． 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝(　　) A．{1,3,4}　　　　　　 B．{3,4} C．{3} D．{4} D　[∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}， ∴?U(A∪B)＝{4}．] 集合关系和运算中的参数问题 【例2】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？ [解]　(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴?RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(?RA)∪B＝R， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2.)) ∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(?RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．即这样的a不存在． 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面. 2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求实数k的取值范围. [解]　由于B?A，在数轴上表示A，B，如图， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≥－1，,k＜\f(1,2).)) 所以k的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤k＜\f(1,2))))). 充分条件与必要条件 【例3】　已知a≥eq \f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4). [解]　因为a≥eq \f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图像的对称轴方程为x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0＜eq \f(1,2a)≤1，当x＝eq \f(1,2a)时，y＝eq \f(1,4)＋c. 先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq \f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq \f(3,4). 再证充分性： 因为c≤eq \f(3,4)，当x＝eq \f(1,2a)时，y的最大值为eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}， y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1. 即充分性成立． 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________． －eq \f(1,2)或eq \f(1,3)　[p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－eq \f(1,a). 由题意知pq，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－eq \f(1,a)＝2或－eq \f(1,a)＝－3，解得a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3). 综上可知，a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).] 全称量词与存在量词 【例4】　(1)下列语句不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 (2)命题p：“?x∈R，x2＞0