考点25 不等关系与一元二次不等式-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.doc

1．不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式 （1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. （2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 一、不等关系 1．不等式的概念 （1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系． （2）用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较 （1）作差法：设a，bR，则，a<b?a?b<0. （2）作商法：设a>0，b>0，则a>b?，a<b?. 3．不等式的性质 （1）实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a>b?； ②； ③a<b?. （2）不等式的性质 ①对称性：；(双向性) ②传递性：a>b，b>c?；(单向性) ③可加性：a>b?a＋c>b＋c；(双向性) ④a>b，c>d?；(单向性) ⑤可乘性：；(单向性) a>b，c<0?ac<bc；(单向性) ⑥a>b>0，c>d>0?；(单向性) ⑦乘方法则：；(单向性) ⑧开方法则：a>b>0?(nN，n≥2)．(单向性) 注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号. 4．必记结论 （1）a>b，ab>0?. （2）a<0<b?. （3）a>b>0,0<c<d?. （4）0<a<x<b或a<x<b<0?. （5）若a>b>0，m>0，则；(b?m>0)； ；(b?m>0)． 二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式： （1）一般式：； （2）顶点式：； （3）两根式：. 2．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 3．一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或； （2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：； （3）画图：画出对应二次函数的图象的草图； （4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图. 4．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：且． （2）恒成立的充要条件是：且． （3）恒成立的充要条件是：且． （4）恒成立的充要条件是：且． （5）恒成立的充要条件是：且或且． （6）恒成立的充要条件是：且或且． 考向一 比较大小 比较大小的常用方法： （1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式. （2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法： ①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小. （5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决. 典例1 若a=2x2+1，b=x2+2x，c=-x-3，试比较 典例2 已知0<a<b<1，则，，的大小关系是 A．<< B．<< C．<< D．<< 【答案】A 【解析】因为0<a<b<1,所以,, 又>1,所以<=0. 综上，得<<. 故选A. 【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等. 1．设a>b>0,求证:. 考向二 求范围的问题 求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键. 在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 求范围的一般思路是： （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借