人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第1章 1.2.3 第2课时　充要条件含答案.docVIP

第2课时　充要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解充要条件的概念．(难点) 2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点) 3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点) 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养. 1．充要条件的概念 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．充要条件的判断 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件． (1)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (2)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是(　　) A．p：a＝0，q：ab＝0　 B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0 C．p：|a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：|a|＝|b| B　[A.a＝0?ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误； B．a＝b?(a－b)2＝0，故B正确； C．若|a|＝1，可得a＝±1，|a|＝1，推不出a＝1，故C错误； D．若|a|＝|b|，可得a＝±b，故D错误．故选B.] 2. 设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　) A．x>1　　　　　　 B．x<1 C．x>3 D．x<3 A　[∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴选A.] 3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.] 4．有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)的充要条件； ③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号) ①②③　[①由不等式的性质易得a＞b＞0?a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1. ②由不等式的性质易得a＞b＞0?eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，反之则不成立，如a＝－2，b＝1. ③由不等式的性质易得a＞b＞0?a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.] 充要条件的判断 【例1】　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x>0，y>0，q：xy>0； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (3)p：x>5，q：x>10； (4)p：a>b，q：a2>b2. [解]　命题(1)中，p?q，但qp，故p不是q的充要条件； 命题(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要条件； 命题(3)中，pq，但q?p，故p不是q的充要条件； 命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件． 充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向． 1．在下列四个结论中，正确的有(　　) ①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件； ②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件； ③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”； ④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件． A．①②　　　　　　B．③④ C．①④　　　　　　D．②③ C　[对于结论①，∵x＞2?x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0，故④正确．] 充分条件、必要条件、充要条件的应用 [探究问题] 1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？ 提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA. 2．记集合M