人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第1章 1.2.3 第1课时　充分条件与必要条件含答案.docVIP

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件与必要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点) 2．会判断充分条件、必要条件．(重点) 3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点) 1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养. 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p?q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)相同，都是p?q.(2)等价． 2．充分条件与必要条件的判断 3.充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A?B p是q的充分条件 q是p的必要条件 p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 B?A q是p的充分条件 p是q的必要条件 q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 思考2：“x<2”是“x<3”的________条件，“x<3”是“x<2”的________条件． 提示：充分　必要 1．下列命题中q是p的必要条件的是(　　) A．p：A∩B＝A，q：A?B B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1 C．p：|x|<1，q：x<0 D．p：x2>2，q：x>eq \r(2) A　[由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．] 2．“x＝1”是“x2－1＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是“x2－1＝0”的充分不必要条件．] 3．“ △ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的________条件．(填“充分”或“必要”) 必要　[若△ABC三边关系满足a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的必要条件．] 4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(用“充分”“必要”填空) 必要　充分　[由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．] 充分条件、必要条件的判断 【例1】　下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若函数y＝x，则函数为递增的； (3)若x为无理数，则x2为无理数； (4)若x＝y，则x2＝y2； (5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (6)若a>b，则ac>bc. [解]　(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－ 4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件． (3)∵pq，而q?p，∴p是q的必要不充分条件． (4)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件． (5)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件． (6)∵pq，而qp，∴p是q的既不充分也不必要条件． 本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 1．指出下列命题中p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq \r(2x＋1)； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq \r(x－1)； (4)p：sin α>sin β，q：α>β. [解]　(1)∵x2＝2x＋1D/?x＝eq \r(2x＋1)， x＝eq \r(2x＋1)?x2＝2x＋1， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0， a＋b＝0D/?a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝eq \r(x－1)成立，反过来，当x－1＝eq \r(x－1)成立时，可以推出x＝1或x＝2， ∴p既是q的充分条件也是q的必要条件． (4)由s