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《指数函数的图象和性质》教学设计
教学目标
教学目标
1.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并了解指数函数的单调性与特殊点.
2.结合指数函数图象与性质的研究,进一步体会研究具体函数的一般思路和方法,提升直观想象核心素养.
教学重难点
教学重难点
教学重点:指数函数的图象和性质.
教学难点:根据图象,抽象概括出指数函数的性质,以及对指数函数性质的理解.
课前准备
课前准备
PPT课件,计算器,GGB课件.
教学过程
教学过程
(一)整体感知,明确任务
引导语:对于具体的函数,我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究.前面一节我们从具有现实背景的问题中,学习得到了指数函数的概念,接下来就要研究它的图象和性质,并灵活应用.根据我们在第三章研究幂函数的经验思考:如何研究一个函数的性质?研究一个函数的性质主要是研究哪些方面?
师生活动:教师引导学生类比研究幂函数的学习,提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容.
预设的答案:研究指数函数的图象和性质,首先要作出函数的图象,其次再根据图象概括函数的性质,最后还可以由性质进一步分析函数的图象.按照函数研究的一般过程,需要研究指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,以及其特有的一些性质.
设计意图:通过回顾以往研究幂函数图象和性质的方法和内容,提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容,明确本节课研究的重点,并引出问题1.
(二)新知探究
1.研究指数函数的图象和性质
问题1:首先画出指数函数的图象,我们先从简单的函数y=2x开始.请同学们利用计算器完成x,y的对应值表1,并用描点法画出函数y=2x的图象.
师生活动:学生独立完成后展示交流,全班师生形成共识即可.
预设的答案:完成的表1,和画出的函数y=2x的图象(图1)如下.
图1
图1
x
y
-2
0.25
-1.5
0.35
-1
0.5
-0.5
0.71
0
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
设计意图:从一个具体的简单的指数函数开始进行研究,巩固描点法,为后续的研究作好铺垫.
问题2:为了得到指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质,我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.用同样的方法,在同一直角坐标系内画出函数的图象,并与函数y=2x的图象进行比较,它们有什么关系?能否利用函数y=2x的图象,画出函数的图象?
师生活动:学生先用描点法画出函数的图象,通过观察作出猜想.然后教师引导学生从指数的运算性质考虑分析.
预设的答案:因为,点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数y=2x的图象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(-x,y)都在函数的图象上,反之亦然.由此可知,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象,比如利用函数y=2x的图象,画出的图象.如图2所示.
图
图2
设计意图:通过探究,学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象,并从中学习用联系的观点看问题,以及通过逻辑推理获得数学结论的思维方式.另外,这样探究还便于将指数函数y=ax分为0<a<1和a>1两类,从而分别对两类图象的共同特点进行归纳.
问题3:选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,例如,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性?根据你所概括出的结论,自己设计一个表格,写出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性,等等.
师生活动:在已经画出y=2x和图象的基础上,学生利用计算器可以画出这些函数的图象.教师也可以展示GGB课件“4.2指数函数第二课时-不同底数的指数函数图象”,并演示动画效果,得到a取任意值时函数y=ax的大量图象.学生根据这些图象直观地归纳出它们的共同特点,教师予以补充完善,并引导学生进行规范:要将指数函数y=ax分为0<a<1和a>1两类进行讨论.
预设的答案:选取底数a的若干值,例如,利用信息技术画出图象,如图3.发现指数函数y=ax的图象按底数a的取值,可分为0<a<1和a>1两种类型.因此指数函数的性质也可以分0<a<1和a>1两种情况进行研究,设计的表格如表2.
图3表
图3
0<a<1
a>1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
(1)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(2)减函数
(2)增函数
(3)非奇非偶函数,即无奇偶性
设计意图:利用GGB动画演示能便捷地做出大量图象,易于归纳,底数a的取值自然地变化,所作函数的图象也自然地产生了,而非事先规定的.在此过程中,有意识地向学生渗透数形结合的思想方法,引导学生“以形助数”,先观察图象得到图象的特征,然后再将图象特
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