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《指数函数的概念》教学设计
教学目标
教学目标
1.通过对具有现实背景的具体实例的分析,经历数学抽象的过程,了解指数函数刻画的变化规律的特征,理解指数函数的概念.
2.结合指数函数概念的形成过程,进一步体会研究具体的一类函数的过程和方法,提升数学抽象的核心素养.
教学重难点
教学重难点
教学重点:指数函数的概念.
教学难点:概括得到指数函数概念的过程.
课前准备
课前准备
PPT课件,计算器.
教学过程
教学过程
(一)整体感知
引导语:对于幂ax(a>0),我们已经把指数x的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质,通过对幂函数的研究,进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函数.
设计意图:明确本节课研究的内容,以及和前面课程的关系.
(二)新知探究
1.研究具体问题,积累感性经验
问题1:随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加,A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施,A地提高了景区门票价格,而B地则取消了景区门票.下表(表1)给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
表1
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
年增加量/万次
人次/万次
年增加量/万次
2001
600
278
2002
609
9
309
31
2003
620
11
344
35
2004
631
11
383
39
2005
641
10
427
44
2006
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
1 005
102
2014
732
11
1 118
113
2015
743
11
1 244
126
比较两地景区游客人次的变化情况,你发现了怎样的变化规律?
师生活动:学生观察表中数据,个别提问回答.
预设的答案:从表格中的数据不难看出,A,B两地景区的游客人次都在增长,但是A地景区游客的年增加量大致相等(约为10万次);B地景区游客的年增加量越来越大,从开始的31万次增长到最后的126万次.
设计意图:该问题是旅游经济的相关问题,A,B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据,贴近现在国内的实际,利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型.分析数据时,先从表格中的具体数据出发,通过直接观察数据的变化情况,做初步的定量分析.
追问1:除了通过直接观察表格中数据的变化情况,我们还可以对数据做怎样的处理,进而发现其变化规律?比如能否将数据转化为图象的形式进行观察?怎样转化?
师生活动:学生讨论交流后提出方案,教师予以补充完善,然后进行实施.
预设的答案:为了有利于观察规律,根据表1,可以分别画出A,B两地景区采取不同措施后的15年,游客人次随年份变化的图象.我们可以先根据表格中的数据描点,然后用光滑的曲线将离散的点连起来.画好的图象如图1.
图
图1
设计意图:当通过直接观察数据的变化情况,不能发现数据的变化规律时,引导学生采取其他方法发现变化规律,比如将数据转化为图象形式进行观察.通过这种对数据的初步处理和形式转化,提升学生分析问题的能力.
追问2:通过观察图象,并结合表格中的数据,你能发现什么规律?
师生活动:学生观察图象和表格,个别提问回答.
预设的答案:通过观察图象,并结合表格中的数据,可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长);B地景区的游客人次则是非线性增长,并且增长速度越来越快.
设计意图:通过观察图象的变化趋势,做定性分析,得到初步结论,同时提升学生直观想象的核心素养.
追问3:图象显示出A,B两地景区的游客人次呈不同的增长方式,这两种增长变化如何用数量表示?我们知道,年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的,通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律.那么,能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢?谈谈你的想法.
师生活动:学生讨论交流后提出方案,教师予以补充完善,然后进行实施.
预设的答案:我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律.从2002年起,将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次,可以得到
2002年游客人次
2003年游客人次
……
2015年游客人次
结果表明,B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11,是一个常数.
像这样,增长率为常数的变化方式,我们称为指数增长.因此,B地景区的游客人次近似于指数增长.
设计意图:引导学生利用已知数据来说明图象的变化规
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