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《函数的基本性质(第一课时)》教学设计
教学目标
教学目标
1.能在用自然语言、图象语言描述函数单调性的基础上,用符号语言刻画函数的单调性,提升直观想象素养和数学抽象素养.
2.对简单函数,能根据解析式求出函数的单调区间;能根据单调性的定义证明简单函数的单调性;提升数学逻辑推理素养.能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题,提升数学运算素养.
3.体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具,能从函数的图象中发现函数的性质,并在这个过程中能进行直观与抽象的转化.
教学重难点
教学重难点
教学重点:函数单调性的概念、判断及证明.
教学难点:“函数值随自变量的增大而增大(减小)”转化为符号化的不等式语言.
课前准备
课前准备
用软件制作动画;PPT课件.
教学过程
教学过程
整体概览
问题1:阅读课本第76页节引言的内容,回答下列问题:
(1)为什么要研究函数的性质?
(2)什么叫函数的性质?
(3)函数的性质主要有哪些?
(4)如何发现函数的性质?
师生活动:学生带着问题阅读课本,老师指导学生概括节引言的内容.
预设的答案:(1)通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律;(2)变化中的不变性就是性质,变化中的规律性也是性质;(3)比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小,有没有最大值或最小值,函数图象的对称性等;(4)先画出函数图象,通过观察和分析图象的特征,可以发现函数的一些性质.
设计意图:明确研究对象,初步构建研究框架.
二、问题导入
问题2:观察图1、图2、图3中的函数图象,你能说说图1与图2(或图3)的区别吗?
图
图1
图2
图3
师生活动:学生读图并比较,指出图1的图象是一直上升,而图2,3有升有降.老师指出:在叙述函数图象特征时要按照一定的标准,即应沿x轴正方向,从左向右观察图象的变化趋势.
预设的答案:图1的特点是:从左至右始终保持上升;图2与图3的特点是:从左至右有升也有降.
设计意图:直接引出课题,形成对单调性的直观感受.
引语:当下很重要,趋势更重要.这节课我们就来一起学习反映函数变化趋势的性质—函数的单调性.(板书:函数的单调性)
三、新知探究
1.定性刻画函数的单调性
问题3:你能用函数的观点叙述图象从左至右上升(下降)吗?
师生活动:学生根据初中学习经验和对图象的观察分析,能描述“y随着x的增大而增大(减小)”.老师在“如何观察”上加强启发和引导.比如:“从左到右”其实就是自变量x不断增大,“上升(下降)”就是函数值y不断增大(减小).
预设的答案:用函数的观点看,就是函数值随着自变量的增大而增大(减小).
教师点拨:函数值随着自变量的增大而增大(减小)的性质叫做函数的单调性.
设计意图:将图形语言转化为函数语言,为后续定量刻画做准备.
2.定量刻画函数的单调性
问题4:如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大(减小)呢?
师生活动:这是一个高度抽象的问题,学生可能一下子无从下手,老师要为学生搭好思维的“脚手架”,从具体问题入手,一步步解决抽象问题.
追问1:你能说说函数f(x)=x2的单调性吗?(画出它的图象,如图4,由图可知:当图4x<0时,y随着x的增大而减小,就说f(x)=x2在区间(-∞,0]上是单调递减的;当x>0时,y随着x的增大而增大,就说f(x)=x2在区间[0,+∞)
图4
追问2:如何用数量关系精确刻画“在区间[0,+∞)上,f(x)=x2的函数值随自变量的增大而增大”?(借助软件,在y轴右侧任意改变A,B的位置,只要点A的横坐标大于点B的横坐标,就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标.将图象上的规律用函数的解析式表示出来,就可以得到函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上满足:若x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,就有f(x1)<f(x2).)
追问3:虽然上述改变A,B的位置是随意的,但我们不能穷举所有的点,为了确保结论f(x1)<f(x2)的正确性,你能尝试着给出它的证明吗?(?x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,f(x1)=x12,f(x2)=x22,根据不等式的性质7就可以得到f(x1)<f(x2).)
追问4:你能类似地描述f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数并证明吗?(若x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,就有f(x1)>f(x2).证明:?x1,x2∈(-∞,0]且x1<x2,f(x1)=x12,f(x2)=x22,根据不等式的性质4和性质7就可以得到f(x1)>f(x2).)
追问5:函数f(x)=|x|,f(x)=-x2各有怎样的单调性?(f(x)=|x|在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增;f(x)=-x2在区间(-∞,0]上单调递增,在区间[0,+∞)上是单调递减.)
预设的答案:如果?x1,x2∈D,当x1
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